* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
И
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
93
сводятся к гомотетии (сжатию к точке). Можно также показать, что (в аналогичном смысле) все аффинные преобразования сводятся к сжатию к прямой; более точно, каждое аффинное преобразова ние А можно представить в виде произведения ПА, где Л есть сжатие к прямой I , а П—преобразование подобия. Аналогично, любое круговое преобразование плоскости сводится к инверсии , каждое круговое преобразование К представляет собой произве дение I I Q инверсии Q и преобразования подобия П. Доказатель ства этих довольно сложных теорем мы опустим ) . В заключение приведем еще три примера произведений преобра зований, отличных от движений. 5°. Пусть Ф есть гомотетия с центром О и коэффициен том k , а Ф —гомотетия с центром О и коэффициентом k. Выберем на плоскости произвольные точки А и В и положим Ф (А)=^А\Ф (А') = А' ,Ф (В)^В\ Ф ( £ ' ) = £ " . Так как А'В' || АВ и /С В || А'В', то А"В' || АВ (причем отрезок А"В направлен в ту же сторону, что и АВ, если оба числа k и к положительны или оба отрицательны, и направлен противоположно АВ в противном случае);
9 1 1 х x г г t , 1 г 1 2 x г
так как, далее, *JL = \k \ и J j p H ^ I = I К VI КV Отсюда следует, что при k k = I преобразование Ф Ф представляет собой параллельный перенос на вектор АА" (рис. 48, а; в этом случае для любой точки В имеем ВВ#АА"); при я 1г Ф\ преобра зование Ф Ф , представляет собой гомотетию с коэффициентом kk (рис. 48, б; в этом случае, какова бы ни была точка В, прямая ВВ гл OA' А"ЕГ ОБ . \ пересекает А А в такой точке О, что (м~~1[В~ ОВ~ * *\) ' Заметим еще, что если Ф Ф есть параллельный перенос, то его направление параллельно прямой О О ; если же Ф Ф , есть гомотетия, то ее центр О лежит на прямой О О . Это следует из того, что оба преобразования Ф и Ф переводят прямую О О в себя; следовательно, эту прямую оставляет на месте также преоб разование (гомотетия или параллельный перенос) Ф Ф,- Но гомотетия переводит в себя лишь прямые, проходящие через ее центр, а парал лельный перенос—лишь прямые, направление которых совпадает с направлением переноса. Отсюда вытекает, в частности, известная т е о р е м а о т р е х ц е н т р а х г о м о т е т и и : центры гомотетии трех попарно гомотетичных фигур лежат на одной прямой, называемой о с ь ю г о м о т е т и и (рис. 48, б). Интересно отметить частный случай последнего предложения, к которому мы приходим, если рассматриваемые фигуры являются окружностями. Известно, что две (не равные) окружности S , S
x x % % Х х % а x % 0 = = 1 и 1 % Х х г 2 х х х 2 х ш 2 x B
т о
*) См., например, книги Б. Н. Д е л о н е и Д. А. Р а й к о в а или И. М. Я г л о м а и В. Г. А ш к и н у з е , указанные в сноске ) на стр. 76, а также § 5 гл. I статьи «Окружности», стр. 476—478.
J
