* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

92 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ чаем, что прямые /?,/?, и R R образуют с R R углы в 60° или что (неза­ висимо от формы исходного треугольника А А А \) треугольник RRR 2 9 X 2 Х 2 9 X 2 9 правильный. Во втором случае (рис. 47) центры 7\, T Т , Г квадратов должны быть таковы, что произведение В В В В, вращений вокруг этих точек на угол 90° представляет собой тождественное преобразование. Но произве­ дение В В, вращений вокруг Т и Т есть не что иное, как симметрия (вращение на угол 180°) £, относительно точки U пересечения прямых, 90° проведенных через Г, и через Т под углами — = 4 5 ° к прямой Т Т . Аналогично произведение В В вра­ щений вокруг Т и T представляет собой симметрию 2 относительно такой точки V\ что прямые T V и TJ/ образуют углы 45° с прямой Г , 7 \ . Но ясно, что произведение симмет­ рий Е 2, тогда и только тогда пред­ ставляет собой тождественное прео­ бразование, когда точки U и V совпа­ дают. Из совпадения точек U и V в свою очередь следует, что треуголь­ ник UT T получается из треуголь­ ника UT T вращением вокруг точки 2t 9 а 4 а 2 2 х 2 л Х 9 г 9 9 t 2 9 2 t x X 9 U э V на 90 , т. е. что отрезки Т Т и Т Т равны по длине и взаимно перпен­ Х 9 2 г е дикулярны. Заметим, что и обратно, если четыре точки T 7V Т , Т та­ ковы, что Т Т. = Т Т и Г,Г, 1 Т Т , то вершины и и К равнобедренных прямоугольных треугольниковT T U и T T V совпадут, так что существует четырехугольник А А А А , для ко­ торого Г|, Т , 7 ,, 7\—центры постро­ енных иа его сторонах квадратов. Такимобразом, условия Т Т *=Т Т T T J_T T полностью характеризуют четырехугольники Т Т Т Т , отве­ чающие в с е в о з м о ж н ы м четырехугольникам Л,Л Л,Л . lt 9 л х г г г л X 2 a A Х 2 Я А 1 2 Х 9 2 Л9 x 9 2 t Х Л 9 Л 2 4 4.5. Дальнейшие примеры произведения преобразований. Мы не будем останавливаться здесь столь же подробно на вопросе о произведении преобразований подобия. Заметим лишь, что проведенная нами к л а с с и ф и к а ц и я движений (т. е. перечисление всех возможных типов движений) моментально приводит и к к л а с с и ф и к а ц и и п р е о б р а з о в а н и й п о д о б и я , ибо очевидно, что преобразование подобия П с коэффициентом подобия k можно представить как произведение (какой угодно!) гомотетии Г с коэффициентом к и последующего движения Л. В самом деле, если П ^ Л Г , где А—какое-то преобразование, то поскольку и гомотетия Г и исходное преобразование подобия П изменяют все расстоянии в к раз, то преобразование Л уже не меняет расстояний между точками, т. е. является д в и ж е н и е м . Таким образом, в определенном смысле все преобразования подобия