* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

78 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ такой системы координат, которая охватывала бы и «бесконечно уда­ ленную» точку круговой плоскости. Не вдаваясь в детали, мы наметим здесь один путь решения этой задачи. Заметим прежде всего, что в качестве координат точки обыкно­ венной плоскости часто оказывается удобным принимать не пару чисел х, у, а одно к о м п л е к с н о е число z = х + iy («комплексная координата» точки). В таком случае геометрические преобразования плоскости будут описываться не парой функций двух переменных (см. формулы (1), стр. 72), а одной, функцией комплексного пере­ менного ): z' = F(z). 114) 1 Расширим теперь область комплексных чисел, присоединив к «обыкновенным» числам еще одно «идеальное» (несуществующее) число оо («бесконечность»), определяемое как результат деления (любого, отличного от нуля) комплексного числа на нуль (невозмож­ ного в области обыкновенных чисел!). Такая «расширенная» ком­ плексная плоскость по существу совпадает с круговой плоскостью (причем «идеальное» число оо отвечает «несобственной» точке Q). Инверсия со степенью Л и с центром в точке О, имеющей ком­ плексную координату 0, аналитически записывается, как мы сейчас увидим, следующей формулой: г' = 4 , г (15) где z = x—iy есть комплексное число, с о п р я ж е н н о е с числом z = x + iy. Из (15) сразу следует, что центр О инверсии переходит в «идеальную» точку со, и наоборот; что же касается отличной от центра («обыкновенной») точки z — x~\-iy то она переходит в точку y !««> что и доказывает совпадение преобразования (15) с формулу (15а) с формулами (7), стр. 73). Аналогично однозначными преобразованиями круговой плоскости преобразования, записываемые д р о б н о - л и н е й н ы м и комплексного переменного инверсией (ср. этому взаимно являются все функциями z =—~-% или г — _ , где аё — псфО> т. е. — Ф ~т (16) cz + d сг + d с d (а, с, d — комплексные числа). Преобразование (16) переводит в «бесконечно удаленную» точку Q круговой плоскости точку с ком') Ср. ЭЭМ, кн. I I I , статью «Элементарные функции комплексного переменного».