* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

76 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Рассмотрим следующий пример. Линейными отображениями плоскости называют отображения, записываемые в какой-либо декар­ товой системе координат формулами (1), где функции <р(х, у) и >|)(х, у) линейные: У' = a x + b y+ с t t Частными случаями линейных отображений являются, как мы виде­ ли, параллельный перенос (2), симметрия относительно точки (3) или относительно прямой (4), сжатие к точке (гомотетия) (5) или сжатие к прямой (6). Если в формулах (11) a = b = a = b = 0, то, очевидно, ото­ бражение переводит все точки плоскости в одну точку (с,, с,). Если коэффициенты при х и при у в двух уравнениях (11) пропорциональ­ ны, т. е. a = Xa b = Xb то п р и л ю б ы х х н у имеем t Y t t t v t v y' = kx' + c t где г = с —ke в lt (12) и, значит, все точки плоскости переходят в точки прямой (12). На­ конец, если коэффициенты а ; Ь не пропорциональны а b т. е. а Ь — й Ь фО то уравнения (11) можно переписать в виде 2 х г% v х г г х ч x = a x' + py+y , l 1 у=а х 1 , + ^ у'+у , 1 1 ИП й где Ь 1 % 9 о Н | х г —6 l Ж _ Ь,с,—ь с, ^ • Y l 0,6,-0,6, C g а Ъ —Ojft, 0,6,—0,6, ' — a i~ i « °i 2—^Ь, fl c fl c & а — * (1Г) ~ fi — ° а,6 —а 6, ' Р* 0,6,-0,6, ' а 2 v (для этого достаточно решить уравнения (11) относительно неизвест­ ных х ' , у'). Таким образом, отображение (11) переводит в каждую точку ( х \ у') плоскости е д и н с т в е н н у ю точку (х, у) (определенную по формулам (1Г)), т. е. является линейным преобразованием. Покажем, что всякое линейное преобразование переводит каж­ дую прямую плоскости снова в прямую линию, т. е. является аффинным преобразованием )* Действительно, для того чтобы найти линию, в которую преобразование (11) переводит прямую 1 Ах + Ву + С=0, (13) •) Можно доказать, что и, обратно, каждое аффинное преобразование плоскости является линейным преобразованием, т. е. записывается в коорди­ натах линейными уравнениями, однако доказательство этого факта довольно сложно (см., например, Б Н. Д е л о н е и Д . А. Р а й к о в , Аналити­ ческая геометрия, ч. I , М.—Л., Гостехиздат, 1048, стр. 152, или И. М. Я г л о м и В. Г. А ш к и н у з е , Идеи и методы аффинной и проективной геометрии, ч. I , М., Учпедгиз, 1962, стр. 78).