* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 63 преобразованиями. В самом деле, окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки О; прямая же пол­ иостью характеризуется тем, что для каждых трех ее точек А, В и С, где В лежит между А и Я, имеет место равенство АВ-\~ ВС = АС. Но так как движения вовсе не меняют расстояний, а преобразования подобия умножают все расстояния на одно и то же число, то дви­ жение или преобразование подобия переводит окружность в окруж­ ность, а прямую — в прямую. Можно доказать, что и обратно всякое преобразование плоскости, переводящее прямую линию снова в пря­ мую линию и окружность—в окружность, является преобразованием подобия (в частном случае—движением); на доказательстве этого мы здесь не остановимся ). 1 § 2. Применение преобразований к решению геометрических задач 2.1. Некоторые примеры. Уже перечисленные выше простые геометрические преобразования могут быть эффективно использованы для решения содержательных геометрических задач. Широко известны, например, применения геометрических преобразований к решению задач на построение. Так, решение задачи о построении отрезка АА', заключенного между заданными окружностью £ и прямой L и имею­ щего данные длину а и направление /, непосредственно получается с помощью параллельного переноса Ф окружности S на отрезок а в направлении I . При таком переносе один конец А искомого отрезка переходит в другой, откуда ясно, что одним из концов искомого отрезка является точка пересечения окружности 5' = Ф ( 5 ) и прямой L (рис. 18, а). [Задача может иметь до четырех решений (рис. 18,6), ибо перенос окружности 5 можно осуществлять в двух противопо­ ложных направлениях.] Далее, задача о построении отрезка АА\ за­ ключенного между данными прямыми / и 1 и делящегося пополам в данной точке О, решается с помощью симметрии относительно точки О (рис. 19; задача имеет, вообще говоря, единственное реше­ ние). Задача о построении в данной окружности 5 такой хорды АВ, которая проходит через данную точку А и делится пополам второй данной окружностью S решается с помощью гомотетии с центром А Х v и коэффициентом у (рис. 20; задача может иметь два геометрических решения) ). 1 Но наиболее интересны применения к доказательству теорем. преобразований *) См.. например, т. I I книги И. М. Я г л о м а [2], указанной в списке литературы в конце статьи. *) Другие примеры применения геометрических преобразований к ре­ шению задач иа построение читатель может найти в статье «Общие прин­ ципы геометрических построений», стр. 189—193 этой книги.