* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

58 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ содержит еще новую (равноправную с остальными!) «бесконечно удаленную» точку. При этом круговая плоскость является не менее законным математическим понятием, чем обычная, «евклидова» пло­ скость. Ведь и представление о (безграничной!) плоскости, на кото­ рой каждая прямая может быть неограниченно продолжена в обе стороны, является лишь математической абстракцией и не имеет реального смысла; точное описание плоскости доставляется лишь набором аксиом, характеризующих геометрию на плоскости'). Разное понимание слова «плоскость» приводит к разным наборам аксиом; так, на круговой плоскости будет несправедлива аксиома: «через две точки проходит единственная прямая», поскольку через «обыкновенную» точку А и «бесконечно удаленную» точку £2 проходит бесконечно много прямых (следует считать, что в с е прямые круговой плоскости проходят через «бесконечно удаленную» точку £2, поскольку образы всех прямых при инверсии проходят через центр инверсии О, являюный полюс» N сферы 5. Если при этом радиус сферы 5 выбран так, что окружность инверсии переходит при стереографической проекции в экватор сферы S, го инверсии круговой плоскости Л* будет соответствовать с и м ­ м е т р и я сферы S относительно экваториальной плоскости. Иначе говоря, Рис. Ш если В и В'—две точки сферы 5, симметричные относительно плоскости экватора, а Л, А' — проекции точек Б и б' из точки N на плоскость <4* (рис. 10), то А переходит в А' при инверсии относительно окружности, в которую проектируется экватор сферы (см. в связи с этим стр. 468—472 этой книги ЭЭ^) ') См. в этой книге ЭЭМ статью «Аксиомы и основные понятия гео­ метрии».