* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ПОНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
ПРИМЕРЫ
59
щийся образом точки Q — см. ниже, стр. 75). Разные подходы к по нятию плоскости, характеризуемые разными наборами аксиом, являются одинаково допустимыми; в одних задачах нам может понадобиться толковать слово «плоскость» в одном, а в других—в другом смысле. И, разумеется, совершенно беспредметным явился бы спор, скажем, о том, имеет ли плоскость одну или много «бесконечно удаленных» точек: это полностью зависит от принятой точки зрения, диктуемой теми задачами, которые перед нами стоят. В иных случаях (напри мер, в связи с рассмотрением гомологии — см. ниже § 7, или гипер болической инверсии—см. пример 10) мы можем прийти к необходи мости совсем иного пополнения плоскости «идеальными» или «бес конечно удаленными» элемеитами—и полученная на таком пути «плоскость» будет отличаться от обычной и от круговой плоскости, но не будет ни «хуже», ни «лучше» их. П р и м е р 10. Пусть преобразование Ф переводит каждую точку Л в такую точку Л', что точки Л и Л' лежат по одну сторону от прямой о, прямая АА' перпендикулярна заданной прямой о и OA'-ОЛ = Л. где О — точка пересечения прямой АА' с о и k—фиксирован ное положительное число (рис. 11). Это преобразовав I не можно назвать гипер болической инверсией') с о с ь ю о и с т е п е н ь ю Л. Если Л=а*, то точки пря мых / и /,, параллельных о и удаленных от о на рас стояние а, переводят при нашем преобразовании в себя, внутренние точки ограниченной / и /, поло сы переходят ео внешние точки, а внешние точки полосы — во внутренние точки; с этим связано на звание симметрия относи тельно пары параллельных прямых, которое также дают иногда рассматрива емому преобразованию. Ясно, что преобразование точек прямой л _L / при Рис. 11. симметрии относительно па ры параллельных прямых / и /, совпадает с преобразованием точек этой прямой при симметрии относительно окружности 5 с центром в точке О пересечения л и о и радиусом а; это может быть использова. о для построения образа А' точки Л при гиперболической инверсии (рис. 11). Часто также считают, что степень k гиперболической инверсии может бить ) Причины, обусловливающие такое название, будут объяснены ниже (см. стр. 75).
1
