* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРИМЕРЫ 51 В геометрии особо важную роль играют функции у=Ф{х), где как х, так и у являются т о ч к а м и плоскости или пространства. В таком случае слово «функция» заменяют обычно выражением «геометрическое (точечное) отображение». Таким образом, геометри­ ческое отображение представляет собой не что иное, как определен­ ный вид функциональной зависимости у=/(х), где как «аргумент» х, так и «значение функции» у являются точками. Итак, для задания геометрического (точечного) отображения Ф надо указать: 1) некоторую фигуру (точечное множество) Л, называемую областью определения отображения Ф; 2) не­ которую фигуру Л', называемую областью значений ото­ бражения Ф, и 3) некоторое правило, сопоставляющее с каждой точкой А области Л определенную точку А'=Ф(А) области Л*. Если данное отображение Ф переводит точку А в точку А' (т. е. ф{А)=А') то точку А' называют о б р а з о м точки А при отобра­ жении Ф. Пусть теперь L — некоторая линия (или фигура), целиком расположенная в области Л. Если точка А пробегает линию (или фи­ гуру) L. то образ А'=Ф{А) этой точки также пробегает некоторое множество точек Z/, расположенное в области Л'. Это множество V называется о б р а з о м множества L при отображении Ф, что запи­ сывается так: V = Q>(L\ П р и м е р 1. Отображение Ф определим следующим образом. Примем за область определения Л всю плоскость, а за область значений ^ ' — некоторую прямую плоскости Л. Условимся, наконец, с каждой точкой А плоскости Л сопоставлять точку А\ являющуюся о р т о г о н а л ь н о й п р о е к ц и е й точки А на прямую Л' (рис. 1). Очевидно, что если L — прям*ая, не перпендикулярная Л\ то ее образ / / = Ф ( £ ) совпадает со всей прямой Л': образ Ф(Ь ) прямой L которая перпендикулярна Л\ представляет собой одну точку на прямой Л'\ образ Ф{5) любой окружности 5 (или любого треуголь­ ника Г, рис. 2) является отрезком. П р и м е р 2. Введем на плоскости некоторую (прямоугольную) систему координат XOY. Отображение Ф определим, принимая за 1 г v а у—число ^например, у— J x{t) dt j , называются ф у н к ц и о н а л а м и , где и x=x(t) и y=y(t) есть числовые функция называются функцио­ а функции y=F(x), ^например, у(г)—х*и) нальными или y(t) = ^ x(t) dt^j, операторами В функциональном анализе функционалы играют ту же роль, которую в обыкновенном анализе играют числовые функции (одного или нескольких переменных); роль функциональных опе­ раторов близка к роли геометрических преобразовании.