* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ 33 В дальнейшем прямая, проходящая через точки А и в , назы­ вается прямой АВ а плоскость, проходящая через точки .4, б и С, называется плоскостью ABC. Из сформулированных аксиом уже вытекают некоторые первые георемы геометрии. Приведем пример. Т е о р е м а 1. На каждой плоскости можно найти три точки, не лежащие на одной прямой. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — некоторая плоскость и А — ле­ жащая в этой плоскости точка (аксиома 5°). Пусть, далее, М N Р—три точки, не лежащие на одной прямой (аксиома 3°). Так как все точки М /V, Р различны, го среди них найдется точка, отлич­ ная от А. Пусть, например, М=£А. Так как точки М Л/, Р не лежат на одной прямой, то хотя бы одна из точек Л/, Р не лежит на прямой МА. Пусть, например, точка N не лежит на прямой МА. Тогда точки А М N не лежат на одной прямой. Действительно, если бы А, М, N лежали на одной прямой, то этой прямой явля­ лась бы прямая МА (в силу аксиомы 1°); но точка N не лежит на этой прямой. Так как точки А М, N не лежат на одной прямой, то в силу аксиомы 4° через них проходит (единственная) плоскость. Если плоскость AMN совпадает с а, то тем самым в плоскости а найдены гри точки А, М N, не лежащие на одной прямой. Если же пло­ скость AMN не совпадает с а, го эти плоскости имеют отличную от А общую точку В (аксиома 7°). Таким образом, в плоскости а существуют две различные точки А, В. Пусть теперь Г, V, W—четыре точки, не лежащие в одной плоскости (аксиома 8°). Среди них обязательно найдется точка, не лежащая на прямой АВ. Действительно, если бы точки 7\ 6/, V, W лежали на прямой АВ то все они лежали бы в плоскости а (аксиома 6°), чего не может быть. Пусть Т не лежит на прямой АВ. Тогда гри точки А, В, Т лежат в одной плоскости. Среди точек (J, Vy W хотя бы одна не лежит в плоскости АВТ (иначе Г, U, V W лежали бы в одной плоскости АВТ). Пусть, например, U не лежит в плоскости АВТ. Тогда точки А /?, 7\ U не лежат в одной пло­ скости. Действительно, если бы А В, 7", U лежали в одной плоско­ сти, то этой плоскостью могла бы быть только плоскость АВТ [в силу аксиомы 4°); но точка U не лежит в плоскости АВТ. Заметим еще, что точки Д, Г, U не лежат на одной прямой. Действительно, если бы точки А, Г, U лежали на одной прямой, го эта прямая совпадала бы с прямой AT (аксиома 1°), и потому точка U лtжала бы в плоскости АВТ (аксиома 6°), что места не имеет. Так как точки А Г, U не лежат на одной прямой, то через них проходит плоскость (аксиома 4°). Плоскость ATU не может совпа­ дать с плоскостью а, так как иначе все четыре точки А, В, J, U % Л % у у щ Л у Л Ч % у ч у 3 энциклопедии, кь. 4