* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

30 АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ понятия ГЕОМЕТРИИ отрицательных). На «истинность» (т. е. непротиворечивость) этой тео­ рии мы будем безоговорочно ссылаться, и с ее помощью будем строить модели других теорий. Итак, мы будем считать аксиоматику непротиворечивой, если для нее можно построить модель, исходя из арифметики рациональных чисел. Теперь ясно, например, что аксиоматика группы непротиворечива: множество всех целых чисел представляет собой модель группы. Другой моделью может служить множество всех рациональных чисел. Непротиворечивой является и аксиоматика поля: моделью поля может служить множество всех рациональных чисел. 5.2. Полнота системы аксиом. Весьма важным является и другое свойство аксиоматики—свойство полноты. Для объяснения того, что такое полнота системы аксиом, нужно ввести понятие изомор­ физма двух моделей. Предположим, что задана некоторая аксиомагика, в которой указываются основные понятия и перечисляются их свойства. Предположим далее, что для этой аксиоматики построены две модели. Эти модели называются изоморфными, если между элементами (т. е. основными понятиями) одной модели и элементами другой модели можно установить такое взаимно однозначное соответ­ ствие, при котором сохраняются фигурирующие в аксиомах основ­ ные отношения элементов. Например, множество всех целых чисел и множество всех рациональных чисел представляют собой две мо­ дели группы. Эти модели не изоморфны между собой. Если же мы возьмем группу всех целых чисел и группу всех целых чисел, делящихся на 10 (операция — сложение), то эти группы оказы­ ваются изоморфными между собой. Действительно, ставя в соот­ ветствие каждому числу п число 10 л, мы получаем взаимно одно­ значное соответствие между этими моделями, при котором сохраняют­ ся фигурирующие в аксиомах группы отношения (т. е. сумма элементов переходит в сумму). Изоморфными между собой являются также приведенные в предыдущем параграфе модели евклидовой плоскости ). 1 Система аксиом называется полной* если всякие две ее интер­ претации изоморфны между собой. Например, аксиоматика группы не является полной (так как существуют не изоморфные между собой группы). Не является полной также и аксиоматика поля. В качестве примера полной системы аксиом мы приведем аксиома­ тику поля действительных чисел. Именно поле действительных чисел можно определить как множество объектов любой природы, называемых «числами» и удовлетворяющих следующим аксиомам: I ( а к с и о м а п о л я ) . Во множестве определены операции сложе­ ния и умножения чисел, по отношен и ю к которым это м ножество является полем. 2 ( а к с и о м а п о р я д к а ) . Для всяких двух различных чисел а и Ь справедливо одно из двух отношений а>Ь Ъ>а, причем если а>Ь е е % ') О понятии изоформизма см. также ЭЭМ, кн. I . , стр. 120—125.