* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И ПОЛНОТА АКСИОМАТИКИ 29 обнаружить отсутствие в ней «внутренних противоречий» невозможно (строгое доказательство этого утверждения было дано не так давно видным американским логиком Куртом Г с д е л е м ) . Однако существует прием, позволяющий до некоторой степени судить о непротиворечивости аксиоматики. Этот прием заключается в следующем. Предположим, что в нашем распоряжении имеется некоторая математическая теория — назовем ее «теория Л», — в истин­ ности которой мы не сомневаемся. Предположим далее, что нам за­ дана некоторая аксиоматика, на основе которой мы должны построить другую математическую теорию—«теорию £ » . Ясно, что если мы сможем, пользуясь понятиями, имеющимися в «.теории ,4», построить некоторую м о д е л ь , в которой выполняются все заданные аксиомы, лежащие в основе «теории £ » , то тем самым непротиворечивость лежащей в основе «теории Б» аксиоматики будет установлена. Иначе говоря, если мы условимся считать «теорию Л» «истинной» и если, пользуясь «материалом» «теории Л», мы сможем по­ строить модель (интерпретацию) для аксиоматики «теории />», то непротиворечивость этой аксиоматики будет тем самым установлена. Выше (стр. 19) мы говорили о том, что геометрия Лобачевского «столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида». Какой смысл имеет это утверждение? Оказывается, что, пользуясь «материалом» геометрии Евклида, можно построить модель геометрии Лобачевского (впервые гакая модель была построена итальянским геометром Э. Б е л ь т р а м и и немецким математиком Ф. К л е й н о м уже после смерти самого Лобачевского), и наоборот, пользуясь «материалом» геометрии Лоба­ чевского, можно построить модель геометрии Евклида (такая модель была построена Лобачевским). Следовательно, из непротиворечивости одной из этих геометрий вытекает непротиворечивость второй, и обратно'). Из сказанного видно, что непротиворечивость может иметь только условный смысл: для доказательства непротиворечивости аксиоматики мы должны построить модель, а для возможности построения модели нужно иметь какой-то «строительный материал», т. е. нужно иметь некоторую теорию, в истинности которой мы не сомневаемся. Наи­ более простой математической теорией является арифметика рацио­ нальных*) чисел (т. е. чисел целых и дробных, положительных \\ ') См. статью о неевклидовых геометриях в кн. V ЭЭМ. *) Непротиворечивость аксиоматики поля рациональных чисел сводится к непротиворечивости аксиоматики натуральных чисел (так как каждое т положительное рациональное число — изображается парой натуральных чисел т, п). Непротиворечивость системы аксиом натуральных чисел уже нельзя доказать таким же образом. Впрочем, в этой непротиворечивости нас достагочно убеждает многовековой опыт челоречества, постоянно поль­ з у ю щ е ю с я натуральными числами.