* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

28 АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ * i н группы коммутативны (инерацня -сложение). Другие примеры групп, j гакже простейшие теоремы о группах (выводимые из перечислен­ ных выше аксиом) читатель может найти в кн. I ЭЭМ (стр. 100—108). Рациональные, действительные и комплексные числа дают нам пример более сложной алгебраической системы. — поля. В поле со вся­ кими двумя элементами а и Ь. взятыми в определенном порядке, сопо­ ставлены два элемента с = а-\-Ь и d=ab той же системы, причем удовлетворяются следующие аксиомы (см. ЭЭМ, кн. I , стр. 113 -120): 1°. Элементы системы образуют коммутативную группу, если групповой операцией считать сложение. 2°. Элементы системы без нуля ') образуют коммутативную группу, если групповой операцией считать умножение. 3°. Сложение и умножение элементов связаны дистрибутивным законом: a(b~{-c) = ab + ac. Аксиомы поля также допускают большое число самых разно­ образных интерпретаций. В первых томах настоящего издания читатель может найти и ряд других аксиоматик: аксиомы натуральных чисел (ЭЭМ, кн. I , стр. 133 —135), аксиомы метрического пространства (ЭЭМ, кн. HI, стр. 266) и др. § 5. Непротиворечивость и полнота аксиоматики 5.1. Непротиворечивость аксиоматики. При рассмотрении аксио­ матики весьма важным вопросом является выяснение ее непротиворечи­ вости. Поясним, что под этим понимается. Пусть мы имеем некоторую систему аксиом, например аксиомы группы. Из этих аксиом мы можем выводить все новые и новые теоремы. Если при этом могут быть получены две теоремы, противоречащие друг другу, то аксиоматика называется противоречивой. Разумеется, аксиоматика только в том случае может быть положена в основу некоторой содержательной математической теории, если она не является противоречивой. Воз­ никает естественный вопрос: каким образом можно убедиться в том. чго некоторая аксиоматика непротиворечива? Например, является ли непротиворечивой аксиоматика группы? Тог факт, что аксиомы группы сформулированы много десятилетий назад и до сих пор не обнару­ жено противоречий, конечно, не может нас убедить в непротиворе­ чивости этой аксиоматики — кто знает, может быть такие противоре­ чия будут обнаружены через несколько лет! Иначе говоря, сколько бы мы ни развивали теорию на основе выбранной аксиоматики, мы, строго говоря, никогда не можем до конца быть уверенными в том, чго выбранная аксиоматика непротиворечива. Внутри самой теории •) Напомним, что нулем коммутативной руппы называется такой эле­ мент 0, что а + 0 = о для любого элемента а.