* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

12 АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ случаи. Это видно из дошедших до нас правил вычисления площади четырехугольника у египтян и индийцев, которые точны лишь в частных случаях, а в общих случаях дают только приближенное решение задачи: египтяне определяли площадь произвольного четы­ рехугольника с последовательными сторонами а, 6, с, d как произ­ ведение - ^ t ^ , что верно только для прямоугольников, а ин­ дийцы определяли площадь произвольного четырехугольника со сторонами с , Ь, с, d как У (р—а)(р—Ь) {р—с) (р—d), где р = у ( о + Ь + с + d), что верно только для четырехугольников, вписанных в круг. Упоминавшемуся нами Фалесу приписываются первые д о к а з ат е л ь с т в а простейших геометрических утверждений; ранее необ­ ходимость «доказывать» геометрические факты, видимо, не осознава­ лась. Доказательства Фалеса до нас не дошли, но* ясно, что эти доказательства не могли опираться на другие геометрические утверж­ дения (аксиомы, ранее доказанные теоремы), как это делается в современных геометрических доказательствах. Что представляли со­ бой доказательства Фалеса, видно, однако, из формулировок его теорем: почти во всех теоремах Фалеса требуется доказать равен­ ство каких-нибудь геометрических фигур—равенство частей круга на которые он делится диаметром; равенство вертикальных углов; равенство углов при основании равнобедренного треугольника; равен­ ство двух сторон в треугольнике с двумя равными углами; равенство двух треугольников, если две стороны и образуемый ими угол в одном из них равны соответственным элементам другого треуголь­ ника. Доказательства этих теорем Фалес производил, несомненно, с помощью наложения друг на друга тех фигур, равенство которых требовалось доказать. Известная теорема Фалеса о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, — прямой, вероятнее всего доказывалась поворотом фигуры на 180°, после чего возникал четырехугольник, вписанный в круг; далее требовалось установить, что этот четырехугольник является прямоугольником; это, вероятно, доказывалось перегибанием четырехугольника по его средним линиям) . г 1 § 2. «Начала» Евклида 2.1. Евклид и его предшественники. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится воз­ можным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. ') Вариант такого доказательства приведен в статье «Геометрические преобразования»; см. стр. 67 этой книги ЭЭМ.