* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

534 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО x стремится к правой части формулы (77) при z видно, так как f(z + h)-f(z) . 1 ' — 2*rJ (С) z. Но это оче­ (C-z-ft)(C-z) 2. Функция f(z) имеет внутри кривой (С) производную лю­ бого порядка п, причём она получается посредством я-кратного дифференцирования по z подинтегральной функции: (С) Это легко доказывается по методу полной индукции: достаточно убедиться, что дифференцирование формулы (78) приводит к ана­ логичной формуле, в которой стоит п~\-\ вместо п *). 3. Функция f(z) разлагается в степенной ряд, расположен­ ный по положительным степеням z — с, где с — произвольная точка внутри кривой (С). Этот ряд есть ряд ТейлораСходи­ мость ряда к функции f (z) имеет место по меньшей мере в круге с центром с и радиусом, не меньшим, чем расстояние точки с до ближайшей точки кривой (С). Всё дело в том, что в степенной ряд, расположенный по сте-. пеням z — с, разлагается функция грала в формуле (76): 1 _ 1 C-z С-с — — , стоящая под знаком инте¬ , , 1 к ( ? 9 ) (С-с)» 1 (С-с) (см. § 11, пример 6). В самом деле, мы имеем здесь прогрессию со знаменателем ~ ; если обозначим через т) расстояние от точки с ч с до ближайшей точки кривой (С) (рис. 8), то равномерная сходи*) Формально необходимо произвести «оценку» интеграла И Г /<0« » 2riJ ( С - ^ - Л ) ( С - г ) (С) X• с 1 Г /(QdC 1 fcrfj (С —z)« I (Q \h\ I Г /(C)dC 1 2*1 \ J ^ - ^ ( C - z - Z O T (Q Если С обозначает длину кривой (С), М — наибольшее значение |/(С)| на (С), >] — минимальное расстояние точки z от точек кривой (С), и если | Л | < о» то рассматриваемое выражение меньше, чем ь_ а 2 п см * ч (*)-*Г откуда легко вывести требуемое заключение. ) При этом приходится произвести оценку интеграла, немногим более сложную, чем предыдущая; предоставляем её читателю. £