* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНАЯ 513 Подобным же образом Arsh z = -* I Arcsin (iz) = Ln (г + / г Arth z = — i Arctg (iz) = i - Ln i ± | . а + 1 ), (44) (45) Формулы (43) — (45) можно получить, конечно, и не прибегая к мнимой единице: достаточно искать обратные функции, исходя из выражений гиперболических функций через показательную (см. § 5). Смысл выведенных здесь формул (43) — (45) все же несколько иной, чем формул, выведенных на стр. 91—92, и именно потому, что 1) независимая переменная z предполагается имеющей произвольное комплексное значение, 2) логарифм имеется в виду «комплексный» (см. § 6), 3) радикалы в формулах (43) и (44) — двузначные; ре­ зультатом последнего обстоятельства является то, что функция Arsh-г при действительных значениях переменной (z=x), кроме значений вида In (ЛГ — \ f А: -|- 1) -|- 2кгЛ, (2k - f 1) 2 имеет также значения вида — In (Л: - + / л ? + 1 ) . Упражнения 1. Исходя из формул (43) — (45), напишите все значения каждого нз вы­ ражений Arcsin 0, Arccos 0, Arctg 0, Arcsin 1, Arccos 1, lim Arctg z. z -* o o 2. Считая z действительным (z = x\ получаем в правой части фор­ мулы (42): 1 1 + ix I f . I 1 + ix I , . 1+ 1 * * т Сделайте подобную же проверку по отношению к функциям Arcsin х и Arccos Л: (предполагая, конечно, что | л г | ^ 1 ) . 3. «Избавляясь» от тригонометрических и обратных тригонометрических функций (с помощью формул (21) и (41)), докажите, что многочлен Чебы­ шева Т (z) =-cos п Arccos z при всех значениях z может быть представлен в виде п Т <*) = Y [* + V^IT п ( + < - V~F=lf * J § 9. Производная Говорят, что функция комплексного переменного w=f(z), за­ данная и однозначная в некоторой окрестности данной точки z и м е е т п р о и з в о д н у ю ( д и ф ф е р е н ц и р у е м а ) , если сущест­ вует и конечен предел нт . ) t ( 4 6 Lz-+Q bZ Этот предел называется производной чается f'(z). 33 Энциклопедия, кн. 3 от функции f(z) и обозна­