* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
512
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Рассматривая последнее соотношение как квадратное уравнение tw относительно 9 мы получим *):
e
Очевидно, lw есть один иэ логарифмов (любой) от ния iz-\- | / l — z : ш = L n (iz -j - | / l —z ) ;
a %
выраже
отсюда, наконец, мы получаем: w = Arcsinz = —iLn(iz-\j / 1 — г* ) . (40)
Подобное же вычисление приводит к результату Arccos z = — i Ln (z + r / l — z ) . И, наконец, из формулы (26) получаем: Arctg*=i-Ln}±§. (42)
a
(41)
Каждая из формул (40) — (42) бесконечно многозначна, так как бесконечно многозначен логарифм; кроме того, следует не упускать иэ виду, что радикалы в формулах (40) и (41) двузначны. Чтобы получить функцию, обратную, например, косинусу гипер болическому, надо решить уравнение ch w — z
f
которому, согласно (30), можно придать вид cos (lw) = z. Отсюда lw = Arccos z, и потому по формуле (41) w = — i Arccos z = — L n ( z - | - i j / l — z ) , или Arch z — Ln (z +
l a
— 1 ) *).
(43)
) Уравнение z*~]-pz-\-q = 0 (где p и q — комплексные) решается в ком плексной области, как н в действительной, посредством «выделения квадрата»: z*+pz + £=^-g, и т.д. Знак г+ - 0 = £ _ < 7 , г + | - = | / ^ радикала, ковечно, имеется в виду с двойным значением; операция извле чения корня у нас введена в § 7, п. 2). ) В самом деле:
9 9
(
в
— L n ( z + i У Т = * * ) = — L n ( * + l / z ^ = T ) = Ln
= Ln(s — Y z*— I ). Однако безразлично, какой знак писать перед радикалом, так как радикал — вес равно двузначный.
- i — — = z + У z* — 1
