* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

510 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 7. Произвольная степень Произвольная степень w = z , где а — какое угодно комплекс­ ное число, в комплексной области, как и в действительной, опре­ деляется через логарифм: z = (e *у a Lji a = е*^* (гф 0). (38) Но разница, конечно, в том, что логарифм имеется в виду в обоб­ щённом смысле, т. е. бесконечно многозначный. Таким образом, функция w = z также, вообще говоря, обладает свойством беско­ нечной многозначности. Именно, обозначая через In z один из лога­ рифмов числа z, мы получим: a Ln z = In z - | - 2ftn£, и потому формула (38) примет вид iSD z = е * " t " = (е *)«^з* *» = a а |п г |п 1 w^e^rta^ Здесь w — одно из значений функции w\ в с е образуют геометрическую прогрессию: e же эти значения ... > . . . , w e ^ , . . . , w,f**\ a 0 w v ..., № а 2 7 С 1 П (39) Отметим, однако, частные случаи: 1) а — ц е л о е число: а = л. Тогда * = е = 1 и все числа в строке (39) совпадают: целая положительная степень комплекс­ ного числа (как и следовало предвидеть) имеет лишь одно зна­ чение. 2) а — д р о б н о е р а ц и о н а л ь н о е число: а = ^-(несократиг мая дробь). Тогда среди чисел е* , т. е. среди чисел е имеется ровно q различных: они соответствуют, например, значениям k = = 0, 1, 2, . . . , q — 1; однако при k = q тл уже получаем е Q= e *P= 2V та 1, -. L g p г т. е. числа начинают повторяться. Функция w = z*t = у z ) имеет, таким образом, q различных значений: она — «^-значна». Ее q зна­ чений, как легко убедиться, являются корнями уравнения w^ = z . 3) а — и р р а ц и о н а л ь н о е действительное число. Тогда среди значений (39) нет равных между собой; вге они в этом случае, как и в предыдущих, имеют о д и н и т о т ж е м о д у л ь . 4 ) а — ч и с т о м н и м о е число: *а = iy, где 7 — действитель­ ное, 7 Ф 0. Тогда знаменатель прогрессии (39) есть действительное положительное число: е " =£-* г>0; p 2 г а я , с ') Здесь мы в в о д и м понятие корня целой положительной степени иэ комплексного числа.