* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛОГАРИФМ 509 Если два комплексных числа равны, то модули их должны быть равны, а аргументы должны отличаться на величину, кратную 2к. Поэтому одно комплексное равенство (34) равносильно двум дей­ ствительным: е» = г, v = b-\-2k-x (k — произвольное целое). Отсюда следует (при z ф 0), что и = 1л г и, значит, Lnz = w = u-{-iv = \\\r-\-i(b-\-2k'z), или Ln z = ln I z) + i (argz + 2Атг). (37) Таким образом, логарифмом произвольного комплексного числа, не равного нулю, является всякое число, у которого 1) действи­ тельная часть равна обыкновенному логарифму от модуля дан­ ного числа, 2) мнимая часть равна одному из значений его аргу­ мента. Отсюда следует прежде всего, что всякое комплексное число z (ф 0) имеет бесчисленное множество логарифмов: эти логарифмы образуют арифметическую прогрессию с разностью 2ъ1. Если один из логарифмов числа z обозначим через w , то все логарифмы будут G (36) .. • , w — 2/Ы, . . . , w — 2яг, w Q 0 Q9 w - | - 2я/, . . . , ЙУ -f- 2ml, - • • Q 0 В частности: 1) если z—действительное п о л о ж и т е л ь н о е число (аргу­ мент 6 равен нулю), то в качестве w можно взять его о б ы к н о ­ в е н н ы й (действительный) логарифм, и тогда все остальные лога­ рифмы оказываются мнимыми; 2) если z — действительное о т р и ц а т е л ь н о е число или же м н и м о е число, то среди значений его аргумента 6 нет кратных 2it, и потому все логарифмы без исключения — мнимые. Заметим, наконец, что число нуль не имеет ни одного лога­ рифма, так как уравнение е" = г при г = 0 не имеет корней. Мы видим, таким образом, что введение комплексных чисел ре• шительно изменяет (обобщает) понятие логарифма. Можно сказать, что во всякой области, не содержащей начала z = 0 ), функ­ ция w = Lnz б е с к о н е ч н о м н о г о з н а ч н а : меняя в формуле (37) целые значения k, мы переходим, как говорят, от одной «ветви» логарифма к другой. {) l Упражнения 1. Полагая г = х-\-1у, выразить Ln г через л: и у. 2. Вычислить все логарифмы чисел: 1, - 1 , /, — I , l + ' V T . 3 + 4i, 5 — 67. ') В этой точке функция Lnz «не существует».