* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

508 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Аналогично из тождества cos (z, - | - z ) = cos z cos z — sin z sin z 9 x a x 9 следует тождество cos (iz - j - /z ) = cos (iz ) cos (Zz ) — sin (iz ) sin (Zz ), x a x a t 2 т. e. ch (z, *a) = ch z ch z - | - sh z, sh z ) . x 9 a ! (32) Из формул (29) и (30), в частности, видно, что при чисто мнимых значениях z функция ch z принимает те же значения, что и функ­ ция cos z при действительных значениях z (и обратно); что касается функций shz и slnz, то имеется также различие в множителе L Гиперболические функции являются функциями периодическими, подобно тригонометрическим; но их период — не действительный (как у тригонометрических), а мнимый (как у функции е?): он равен 2та. Упражнения 1. Положив г = х -f- 1у, вывести ф о р м у л ы cos г = cos х ch у — i sin x sh y, sin z = sin x ch у -\- i cos x sh у и ch z = ch x cos у + 1 sh x s i n y , sh z = sh x cos уЦ- i ch x Sin у. 2. Доказать, что корнями уравнения £Ш2 = 0 в комплексной области являются числа вида nit, и т о л ь к о 3. Р е ш и т ь уравнение c h z = 0. они. § 6. Логарифм Функция логарифм w = Ln z *) в комплексной области, как и в действительной, может быть опре­ делена как о б р а т н а я по отношению к показательной w = e . Сле­ довательно, для того чтобы узнать, чему равняется w = Lnz при данном значении z, надо решить относительно w уравнение z e = z. Полагая z = re , w = u-\-iv i9 u w (33) (34) мы придадим уравнению (33) вид ^ * = г Л *) Это тождество легко вывести и непосредственно иэ формул (28), не прибегая к мнимой единице (см. стр. 66). ) В отличие от обыкновенного натурального логарифма положительного числа комплексный логарифм (сущность которого мы только выясняем) обо­ значается через Lnz* 9