* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 505 1. Выведем «теорему сложения» для косинуса. Из тождества gtei _|_ —**1 е _J_ — s . te е e «i е —/*% е — tea £ (*i +*а) _|_ ~ fa-Hs) l e = 2 2 27 2/ получаем сразу: cos z cos z — sin г , sin z = cos (* - j - z ) . x a a д a 2 (22) (Аналогично для синуса.) 2. По теореме сложения показательной функции имеем: полагая все числа z (k = l, 2, /г) равными между собой и обо­ значая, их общее значение через г , получим после перестановки правой и левой части: ( ?*)П ** (23) ft ( ==е л Это — сокращённая запись известной формулы Муавра (cos z -\- i sin z) = cos nz -|- i sin nz. n rt n (24) 3. Пусть требуется представить cos z или sin z (где n — целое положительное) в виде линейной комбинации величин 1, cos г, sinz, cos 2z sin 2z, . . , cos nz, sin nz. Напишем, например, в случае косинуса: t f cos" z = (^Y~y i 1 fе — 2n-i( Ы г = + С#^>Ч-^ ^ , ^ ^я-а>г-|_^я-»^ g Я ( , ж + --- + ^ } = ) "T---J— -f- e~ 2 inz , ^ g * " - » g - f g-""-"* , ' C n "Г C 0 SЛ г 2 c o s Л 2 = 2^^ + ^ ( — 2) z - j - Q cos (л — 4) z - f - . . . } . (25) При этом последний член суммы в скобках равен уС^ п— I 1 л в случае п чётного, в случае п нечётного. * С 2 п cos z 4. Пусть требуется, напротив, выразить coswz или sin nz через cos z и sinz. Придётся написать, например, так: cos/zz= ^ + g = ± { ( е ^ " + («г'*) } = rt я = Y {(cos z + i sin z)" -f- (cos z — I sin z) }, и останется раскрыть скобки, пользуясь биномом Ньютона ' ) . ') Часто говорят несколько иначе: cos nz есть действительная часть от е **, т. е. от (e**) , или (cos z-\-i sinzV; поэтому достаточно раскрыть скобки и «взять действительную часть» того, что получится. По существу разницы, конечно, нет. 1 n