* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

504 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3. Дано ai = -w* доказать, что u = e*(jc cos^ —у sin_y)i v = е (х sJny + у cosy). х 4. Найти модуль и аргумент выражений 5. Дана функция/(z) = z . Доказать, что/(0) = Ь § 4. Выражение тригонометрических функций через показательную Вернёмся к формуле Эйлера, в которой заменим, впрочем, букву у буквой z\ при этом будем предполагать, что z обозначает произ­ вольное комплексное число е =cos Заменим, далее, z через —z: e' = cos z — / sin z. ). 3 iz ! гг z -J-1 sin z. (19) (20) Решая полученные тождества ) (19) и (20) относительно величин cos z и slnz, мы легко получим новые замечательные тождества: c o s z = — 2~Т>sinz = 2/ • ( 0 2 «Эти тождества выражают тригонометрические функции cosz я sinz показательную функцию. Тот факт, что подобного рода выражение возможно,- имеет громадное и принципиальное и практическое значение. С принципиальной "стороны, важно то, что в комплексной области тригонометрические функции теряют своё самостоятельное значение: можно всегда «без них обойтись», вводя вместо них показательные. Правда, это заключение — не для средней школы, где приходится довольствоваться обычным определением, относящимся только к дей­ ствительной области, но зато обладающим свойствами наглядности и непосредственной применимости. С практической стороны, существенно то, что, приняв в качестве определения тригонометрических функций формулы (21) и вводя вместо этих функций показательные, можно по большей части сокра­ тить записи и иногда также облегчить или автоматизировать вычис­ ления. Приведём несколько примеров. _ *) Свойства четности косинуса и нечетности синуса cos(—z) = cosz, sin (—z) = — sinz следуют иэ того, что степенное разложение косинуса (8) содержит лишь чётные степени, а разложение синуса (8) — лишь нечётные степени z. ) См. подстрочное примечание ) на стр. 502. s £