* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОКЛЗЛТЕЛЬНЛЯ ФУНКЦИЯ. СИНУС И КОСИНУС 503 эначение показательной функции е* нри любом комплексном зна­ чении ZI е =е (cosy - f 1 sin .у). (13) г х Например, полагая л г = 3 , у = 2, мы будем иметь: з+« г _j_ ) (2,71 ... . ) (cos 114 35 - f z sin 114 35 ) ъ ^ — 8,23+'18,27*. 3 С Р c r е = е ( c o s 2 { s i n 2 Формула (13), которая наравне с формулами (7) может служить определением показательной функции w — e в комплексной области (и практически более удобна), обладает тем свойством, что позво­ ляет сразу вычислить-не только д е й с т в и т е л ь н у ю ч а с т ь и и м н и м у ю ч а с т ь v функции w но также её м о д у л ь р и а р г у ­ м е н т 9. Именно, и = е cosy, v = e s i n j ; z t х K с другой стороны, так как выражение в скобках в правой части (13), очевидно, имеет модуль, равный единице, то легко понять, что 9 = \е?\=е* у 9 = Mge*=y. г (14) Из формулы Эйлера ясно видно замечательное (может быть, не­ ожиданное для читателя) свойство показательной функции е \ функ­ ция е?—периодическая, она имеет мнимый период < = 2я/. о Действительно, полагая в формуле (13) ^у = 2?г, мы получаем: е™=1, и тогда тождество (10) при z = z, г = со = 2яг даёт: x а (15) Таким же образом вообще при п целом: Нам остаётся сказать несколько слов по поподу того случая, когда основанием показательной функции является произвольное положительное число а. Тогда по определению полагают: /2 = £ * , и отсюда с помощью формулы (13) следует: а* = а* (cosy In а + 1 sin у In я). Упражнения 1. Доказать, что 2*^0,77 + 0,64*. 2. Дано w =. е \ доказать, что г% г ,па (17) (18) U = е * ~ * cos 2#у, v = е ** ~ х у v > si n 2 ху.