* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

484 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Ряды, стоящие здесь в скобках, суть в точности ряды (80) и (81). Стало быть, С(х-\-а) = С(а)С (лг) — 5 (а) 5 (лг). (86) Это и есть т е о р е м а с л о ж е н и я д л я к о с и н у с а . Заменяя в этой формуле а на — а и применяя формулы (82), получаем теорему вычитания С(х — а) = С(а)С (лг) + 5 (a\S (лг). Здесь а и лг — любые числа. Полагая, в частности, a = x чая, что из самого определения С(х) следует равенство С(0) = 1. получим известную формулу C*(x)-\-S*(x)=l, которая при обычном построении теории выводится из Пифагора. Из (89) видно, что всегда \C(x)\*Zl, \S(x)\*Zl. (89) теоремы t (87) и заме­ (88) Если продифференцировать тождества (86) и (87) и применить формулы (83), то мы придём к т е о р е м а м с л о ж е н и я и в ы ч и ­ тания для синуса: S(x-\-a) = S(x) С (а) + 5 (а) С (лг), (90) (91) 5 (лг—а) = 5 (лг) С (с) — 5 (а) С (лг). Из формул сложения получаются формулы удвоения: С(2ЛГ) = С*(ЛГ) — 5 (лг), й 5(2лг) = 25(лг)С(лг). Подобным же образом можно было бы получить ещё ряд фор­ мальных соотношений, например выражения для S(3x) и т. д. Труднее устанавливается п е р и о д и ч н о с т ь функций С (лг) и S(x) и связанные с ней формулы приведения. Покажем прежде всего, что при 0 < ^ л г ^ 2 будет 5(лг)>0. В самом деле, ведь 5 ^ = д ( - А ) + Й ( - Й ) + 9т( -!о?п)+ 1 1 1 и все скобки здесь (при 0 ^ л г ^ 2 ) положительны. Вспоминая, что С(лг) = — 5(лг), мы видим, что функция на промежутке [0, 2] строго убывает. С(х)