* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
466
ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ
причём написанный здесь ряд 'сходится, что видно иэ теоремы Лейбница. Однако предшествующими рассуждениями равенство (56) не доказано. Тем не менее, оно верно. Для доказательства этого будем исходить не из бесконечного ряда 1 — х ^ - \ - х ^ — J C - f - . . . , а иэ конечной суммы
6
1_ «+ ь _ *
х х х
.
я л
+ лрвв-в _ *п _
х
1 в (
57)
Отсюда:
и, интегрируя от 0 до 1, находим:
I
о
~
1
3 * 5
7^-"^2я—1
2n+l^-J
1+JC
8
(58)
Для интеграла в правой части получаем оценку:
о
следовательно,
и
arctg 1 = 1
+ i —i-f... ,
что и требовалось доказать. Формула (56) представляет несомненный теоретический интерес, ибо дает очень простое выражение числа к через натуральные числа (значительно более простое, чем формула Валлиса). Однако в качестве средства вычисления я этот ряд практически непригоден из-за его чрезвычайно медленной сходимости'). Более удобное разложение я мы получим, если в основной фор¬ муле (55) положим л ; = - Ч р . Это приводит к равенству 6 3 \ 1 9^45
I
L+ J 189 ^ 7 2 9
! L \ 2673 ' " У »
*) Чтобы получить л с двумя верными знаками после запятой, надо сло жить пятьдесят (!) членов ряда (56).