* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
РЯДЫ
463
Подставляя в формулу (32) ЛГ=4, получим:
Оценка (33) даёт: О<р»(4)< Далее, - | = 0,22222222 ( + ) , — ^ = (^00091449 ( + ) , у ^ р - = 0,00000677 (+), откуда 4+зТ9Г+5^"
= = 0 т
\ у <0,0000001.
(44)
'
2 2 3 Ш 4 8
'
причём ошибка здесь положительна, но меньше, чем 0,000000015. Сопоставляя это с (43) и (44), находим: 1.609437610 < 1п 5 < 1,609438025. (45) Остановимся теперь на вопросе о переходе от натуральных логарифмов к десятичным. N—произвольное положительное число, a IgN—его десятичный логарифм, то
Если
Логарифмируя это равенство по основанию е, получим: lniV = l g i V . l n l 0 . Стало быть,
1
е"=Шо-
Вычислим In 10, опираясь на соотношения (37) и (45) и на TQ, что 1п 10 = 1п2 + 1п5. Очевидно, 2,302584675 < In 10 < 2,302585240 и тем более 2,302584 < In 10 < 2.302586. (46) Теперь мы уже в состоянии вычислить lg 2 и lg 3. Для того чтобы по лучаемые результаты были абсолютно надёжными, мы установим для этих логарифмов сначала границы, между которыми они лежат ).
1
*) Мы преследуем цель получить интересующие нас логарифмы не с очень большой, но совершенно г а р а н т и р о в а н н о й точностью. Обычно вычи сления ведут более экономными способами, которые, однако, иногда оставляют сомнительным последний знак, даже если вычисляется целый ряд л и ш н и х десятичных знаков. Тем не менее, мы вовсе не имеем в виду рекомендовать замену обычной методики вычислений на применяемую нами.
