* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 459 следовательно, lim 1 Г х* т п 1 1 1 О Равенство (30) доказано *). Значит, равенство (29) верно для — 1 < J C ^ 1 . Формула (29) является исходной при составлении таблицы ло­ гарифмов. Однако н е п о с р е д с т в е н н о е её использование для этой цели затрудняется ) тем обстоятельством, что она справедлива лишь при — 1 <^х=^ 1. Поэтому приходится несколько преобразо­ вать эту формулу. Заменяя в (29) х на — х , получим для — 1 ^ J C < ^ 1 8 mo _ * ) = - * - 4 ^ - — . . . Вычитая это равенство из (29), находим: (3i) >»-Г±7='(*+4+Т+-)Положим здесь 1 х= 2ЛГ+1» число. Замечая, что при этом ^ где N—натуральное 1 • =—jj— ) Дадим ещё одно красивое доказательство равенства (30). Положим • — Прибавим к правой части и вычтем из неё сумму 5^=1 —у + 1+4"+4" + " - + - - | 2^-t--^- + n причём, прибавляя, запишем эту сумму в виде Очевидно, в результате этих операций мы получим: 2 ; ...4"^J. s, =(.+l + . . . + l ) - ( i + l + . . . + l ) = ^ + ^ H - . . . + 4 . Отсюда Sj- = У——г . , ft л в — . Это — интегральная сумма, стремящаяся при Л - т — • — = 1п2, чем снова доказано (30). о *) При помощи некоторых искусственных приёмов эту трудность можно было бы обойти. Например, мы могли бы вычислять In 2 не при помощи очень медленно сходящегося ряда (30), а положив в (29) лг = — 4 " » 8 ч т о дало бы — In 2 = я- — 2 - 2* 2 3- 2 4-2* Здесь для получения какой-либо заранее заданной точности пришлось бы брать гораздо меньше членов, чем в ряде (30). 1 2 Положив, далее, в (29) х = — j мы нашли бы I n - у , что привело бы нас и к 1пЗ (поскольку In 2 уже известен), и т. д. t