* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

458 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Итак, Т ^ 7 = 1 — — + • t Проинтегрируем это равенство почленно по промежутку [0, z] где — 1 < ] г < ^ 1 , что законно по теореме 2 из п° 40. В резуль­ тате мы приходим к равенству 1п(1 + г ) = г — f + T ~ которое можно записать и так: 1п(1+*) = * — £ + - | — £ + ... -?" + • — (29) Это равенство доказайо нами для — 1 < ^ х < ^ 1 . Для л т = — 1 нельзя и ставить вопроса о справедливости этого равенства, ибо обе его части теряют при этом х числовой смысл (слева 1п0, справа расходящийся ряд). Напротив, при-;с = - | - 1 и слева и справа получаются выражения, имеющие числовой смысл, но мы пока все же ещё не имеем оснований утверждать справедливость р а в е н с т в а этих выражений, т. е. что 1 „ 2 = 1 — + (30) Докажем, что равенство (30) всё же верно. С этой целью будем исхо­ дить не из бесконечного ряда 1— а иэ конечной суммы l - X + X ^ - ^ + — ** + . . . , '(*9*-1). + x'-^ + . ^ + X ^ ^ - X ^ ' 1 ^ ^ ^ Отсюда или, интегрируя от 0 до 1, 1ак как _ - _ - . < J C 3 w п р и х > о, то i о - • 0 /! 1