* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

456 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ Н РЯДЫ стремится к нулю. Тем более этот общий член ограничен. Значит, суще­ ствует такое постоянное число М, что при всех натуральных я будет I с )Г КМ. п (25) + ... + ... (26) Заметив это, перепишем ряд I с \г + 2 | с, | х + 3| с1 8 так: | с,у | i + 2 | с > | ( у ) ' + 3 | с , у | (±J аУ В силу (25) члены этого последнего ряда меньше, чем соответствующие члены ряда Мд + 2М, откуда, как и выше, переходя к пределу при г стремящемся к /?, мы и получаем неравенство (24). Лемма доказана. Иэ этой леммы иытекает важное С л е д с т в и е . Степенной ряд (11) и ряд ш с, + 2с х + 3cjX» + . . . % f (28) полученный из него почленным дифференцированием, имеют одинаковые радиусы ) сходимости. В самом деле, ряд (11) имеет тот же радиус сходимости, что и его остаток (20). Тот же радиус по лемме имеет и ряд (21), который получается иэ (28) умножением всех членов на х. Остаётся показать, что (21) и (28) имеют равные радиусы сходимости. Но у них даже и п р о м е ж у т к и схо­ димости одинаковы. Действительно, если ряд (28) сходится при каком-либо X, то, умножая его члены на х, мы не нарушим сходимости; если же ряд (28) при каком-либо х расходится, то очевидно х^О, а тогда, умножая члены ряда (28) на это х, мы не сможем придти к сходящемуся ряду. Теперь мы можем, наконец, вернуться к теореме 3. Пусть имеет место равенство (17), причём радиус сходимости R ряда, стоящего в правой части (17), положителен, # > 0 . Дифференцируя этот ряд почленно, мы при­ ходим к ряду (28), имеющему тот же радиус сходимости /?. Обозначим сумму этого ряда через ? (х). По теореме 1 это есть функция, непрерывная в (— R, -\~ R). Закрепим какую-либо точку z этого интервала и рассмотрим замкнутый промежуток ) [0, г]. 1 9 1 ) Не следует думать, что и п р о м е ж у т к и сходимости этих рядов Х п имеет замкнутый промежуток сходи­ мости [— I . + !]• и то время как продифференцированный ряд в точке х = 1 расходится. •) Мы считаем z > (X Если z<0, то надо ввести промежуток [я, 0], а в остальном все рассуждения сохраняются, ибо при перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак. 2