* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 455 Т е о р е м а 3. Равенство (17) можно почленно дифференциро­ вать внутри промежутка сходимости ряда ( I I ) . Иначе говоря, сумма / (х) ряда (11) в каждой точке х из от­ крытого промежутка ( — /?, -f- Я) имеет производную / (х) и спра­ ведливо равенство 9 / (х) = с + 2с х + Зс д: - ( - 4с х % 3 9 4 JC 3 + Доказательство этой теоремы сравнительно сложно, и мы предпошлём ему две леммы. Л е м м а 1. Если 0 < q < 1, то ряд 4+ сходится. n V + V + V + ... (19) Эта лемма устанавливается с помощью признака Даламбера: здесь a = nq\ а en+i^B + l)*"-". ¥ п я ¥ я ^ с о Л е м м а 2. Степенные ряды CiJt + 2c x + 3 c x + . . . a a a s + + ... 1 (20) (21) имеют равные радиусы сходимости. Обозначим упомянутые радиусы сходимости рядов (20) и (21) соответ­ ственно через R и /?'. Предположим, что /?'>0 и пусть 0 < я • < / ? ' . Тогда в точке z ряд (21) сходится абсолютно. Иначе говоря, сходится положительный ряд I с 1 z + 2 | с, I * + 3 I с I a 4 А + Тем более сходится ряд I * I * + I с | J" + а | с. | «• + . . . Это показывает, что в точке z сходится (даже абсолютно) ряд (20) и петому z а=£ /?. (22) Здесь z подчинено единственному условию 0 <С г <С /?*. Значит, можно устремить в (22) z к R* п перейти к пределу. Таким образом, R' Я. (23) • Это неравенство, установленное нами для /? > 0, очевидным образом справедливо и при R' = 0. Установим теперь, что R^R . (24) 1 При этом можно предполагать, что /? > 0, ибо иначе неравенство (24) очевидно. Пусть 0<.z<.R. Покажем, что ряд (21) абсолютно сходится в этой точке. С этой целью возьмем ещё одну точку у, удовлетворяю вдую неравен­ ствам z < у < R. Ряд (20) в этой точке сходится и потому его общий член