* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 447 частичных сумм рядов (56) и (57). Увеличивая п и переходя к пределу, мы в приходим к (60). Приведем без доказательства ещё два предложения: Т е о р е м а 5. Если ряды (56) и (57) сходятся и хоть один из них сходится абсолютно, то сходится (хотя н не обязательно абсолютно) и ряд (58), и суммы рядов (56), (57) и (58) связаны равенством (60). Т е о р е м а 6. Если сходятся все три ряда (56), (57) и (58), то спра­ ведливо (60). § 8. Степенные ряды * • _ 39. Промежуток сходимости. Степенным вида в + о 0 а с рядом называется ряд (О 1* + * f c x%J + • •- » где с , Г ] , с , . . . — п о с т о я н н ы е числа, называемые к о э ф ф и ц и е н ­ т а м и ряда. Про ряд (1) говорят, что он расположен по степе­ ням л:. Иногда рассматривают степенные ряды несколько более общего вида c 0 + c i ( * — « ) 4 - д ) 9 4 - ••• • () 2 расположенные по степеням разности х — д. Впрочем, ряд (2) при­ водится к виду (1) при помощи подстановки дг — д = л Л Ввиду этого обстоятельства мы занимаемся ниже преимущественно ря­ дами (1). Мы говорили, что с чисто формальной точки зрения бесконеч­ ные ряды представляют собой суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых. Аналогично этому, степенные ряды — это, так ска­ зать, «многочлены бесконечно высокой степени». Важность таких выражений для математики видна хотя бы из следующего примера: в п°12 мы установили, что при любом действительном л: будет * — а + - 5 Г - ••• + < - v ' m m • Пользуясь обозначениями результат записать и так: sinx=x— настоящей главы, мы — можем этот (3) Иначе говоря, важнейшая тригонометрическая функция s i n * представима степенным рядом (1). Точно так же из рассуждений п°12 вытекает, что cos х=1 — '2х~\-^ — » () 4