* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯЛЫ 433 Стоящая здесь справа сумма есть частичная сумма геометрической прогрессии • • _I_+__L (2 *)* а (2 а_1 ) 8 В силу сказанного в конце п° 33 эта (ибо а ^ > 1 ) , и сумма.ее равна прогрессия сходится (26) у-тгг2' 5 а Так как прогрессия (25) также является рядом положительным, то её частичные суммы не превосходят её суммы (26). Тем более ' Это неравенство установлено для любого /я. Но для всякого п можно найти такое т, что 2 г о — 1 > л. 2 " е 1 Поэтому при всяком п оказывается* и ряд (24) сходится. Следует, однако, заметить, что непосредственное применение теоремы 1 встречается сравнительно редко. Обычно применяют основанные на ней, но более удобные при­ знаки сходимости рядов. Простейший из них — это так называемый признак сравнения рядов. О п р е д е л е н и е . Если каждый член положительного ряда не больше, чем имеющий тот же номер член другого ряда, то второй ,ряд называется мажорантным по отношению к первому. Иначе говоря, ряд является мажорантным по отношению к ряду а % Л~ ч ~\~ ъ ~h • • *» а а если при всех п будет Легко понять, что частичная сумма данного ряда не больше, чем (имеющая тот же номер) частичная сумма ряда мажорантного. Значит, если ограничены сверху частичные суммы мажорантного ряда, то это и подавно так для исходного ряда. Отсюда вытекает Т е о р е м а 2. Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится» 28 Энциклопедия, к н . 3