* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

422 П О З О Н Е И Т ГА Ы И Р Д Р ИВ Д Ы , Н Е Р Л ЯЫ Отсюда и из (7) вытекает, что я—1 л—1 ш к Я ([а, Ь))=2 р{х )(х —х )+ л к ^ k=0 р([**. (Ю) le=0 При измельчении дробления - первая написанная здесь сумма стремится к интегралу, стоящему в (9). Остаётся показать, что вторая сумма стремится к нулю. С этой целью возьмём е ^ > 0 . Со­ гласно (8), этому е отвечает такое 8 > 0 , что при 0 < ^ Д # < 8 будет |р([*» * + Д * ] ) | < е Д л ; . Найдя подобное 8, рассмотрим такое дробление [а, Ь], у кото­ рого A = m a x ( j t — д г ) < ^ 8 . Тогда ft+1 А л—1 ([Х л—I х | 2 Р *' * * * ] ) ! < • 2 I **— А=0 fc-=0 **) = •(* — а). Таким образом, вторая сумма правой части (10) действительно стремится к нулю, чем и доказано (9). Итак, если нам удастся установить «приближённую пропорцио­ нальность» величины P([x дг-f- Дд:]) и длины Ад: малого промежутка [х, дг-|- Длг], то уже отсюда будет вытекать возможность вычислять величину Р по формуле (9). В этом и состоит вышеупо­ мянутая общая схема для прило­ жений интегрального исчисления. Именно, всё сводится к прибли­ жённому (с точностью до малых высшего порядка) выделению из «элементарного» слагаемого Р([ > ~\~ А*]) величины вида р (х) Дд:. Так, например, полоску, изо­ бражённую на рис. 44, прибли­ жённо можно принять за прямоугольник с основанием Дд: и высотой / (д:). Отсюда сразу вытекает, что f х х F([a, b]) = $f(x)dx. Покажем применение указанной схемы ещё на одном примере. Вообразим себе канал, заполненный водой и запертый щитом, изо­ бражённым на рис. 45.