* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 421 Рассмотрим, например, непрерывную положительную функцию /(л*), заданную для х £ [а, Ь]. Тогда с каждым промежутком [а, р], содержащимся в [а Ь], мы связываем величину F([a, pj) площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = О, у = /.(х), х=о. х = р. Площадь F([a, Р]) и будет функцией промежутка [а, Р]. Другим примером может служить объём V([a, Р]) тела, об­ разованного вращением указанной' трапеции вокруг оси Ох. Вот ещё один простой пример: пусть на [а, Ь] непрерывным образом распре­ делена масса; тогда количество т([а, р]) массы, попавшее на про­ межуток [a, Р], будет функцией этого промежутка. Функция промежутка Я ([а, р]) называется аддитивной, если при а < т < Р будет 9 9 Я([а, р ] ) = Р ( К р Т ] ) + ^([Т, PD- Функции ^ ( [ а , р]) V([a, PJ), т([а, р]), о которых мы говорили только что, очевидно, аддитивны. Рассмотрим аддитивную функцию промежутка Я ([a, Р]) и допу­ стим, что на основном промежутке [а Ь] определена непрерывная функция р(х), связанная с Я([а, Р]) следующим соотношением 9 Р([х, х + &х])=р(х)Ах е с Т ь + ?([х 9 х + Ьх)] 9 (7) 1 где р ([дг, J c - I - ^ ] ) Функция, обладающая тем свойством, ч т о ) Р p. ( 8 lim ) Грубо говоря, соотношение (7) означает, что значение величи­ ны Я, отвечающее весьма малому промежутку [дг, д;-}-Д*]» почти пропорционально его длине Длг, ибо величина р([х х-\-йх]) (при бесконечно малом Ах) есть бесконечно малая высшего порядка. Покажем, что в этих условиях значение Р([а Ь]) величины Р, отвечающее всему промежутку [а Ь] выражается формулой ь Р{[а b\) = §p(x)dx. (9) а 9 9 9 9 9 В самом деле, разбив [а точками лг = a <^jtj < \ . , < [ л ; = £, на основании аддитивности величины Р получим 9 0 Л я —I ^Р([х„, Р([а, Ь\)= Л=0 1 ) Точный смысл равенства (8) таков: всякому е > 0 отвечает такое Р Х * > 0 (не зависящее от х), что при 0 < Д л с < 8 будет | ^ ' д ^ * * * ^ | < е.