* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ИНТЕГРАЛЫ
419
ному пределу L , то последний* называется площадью поверхно сти ( I ) *). Т е о р е м а . Если у функции fix) существует непрерывная производная fix), то поверхность (L) имеет площадь, выража ющуюся формулой ь
1 = 2* J f{x) V\+f*ix)dx.
а
(5)
конуса,
2
В самом деле, площадь боковой поверхности ванного вращением эвена M M , равна
k M
образо
* [/(•**)
/
(** i-**) +
9 +
[/(*
f c +
i)-/(* )] f t
Но по формуле Лагранжа
—/(**) = / ft) —**) < f e <*fe+i)-
Таким иметь
образом,
я—I
сохраняя
вышеуказанные
обозначения,
будем
Это выражение сходно с суммой
п—I
fe«=0
которая стремится при X = max(jc ,—лг )—*0 к интегралу, стоя щему в формуле (5) [ибо о есть интегральная сумма н е п р е р ы в н о й функции fix)-/ ! + / * ( • # ) ] . Так как из стремления к нулю наибольшей хорды M M вытекает стремление к нулю и величи ны X, то достаточно удостовериться в том, что lim ( Г — о ) ' = 0 . (6)
fc+ л k k+l
С этой целью, взяв произвольное е ^ > 0 , найдём столь малое 8^>0, чтобы из неравенства \j
H v
А»0
*) Это определение площади поверхности пригодно только для поверхно стей вращения. В общем случае определение площади поверхности значи тельно усложняется (см. об этом в четвертой книге Э . э . м.).
27»
