* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

418 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Если рассматривать всю верхнюю полуокружность, т. е. изменять х в промежутке [ — R , -\-R], то мы не сможем применить доказан­ ную выше теорему, ибо производная У не существует при х = = t / ? . Поэтому мы рассмотрим лишь ту половину верхней полуокруж­ ности, которая лежит между прямыми у=х и у =—х (т. е. дугу АВ, рис. 43). Так как абсциссы точек А и В соответственно равны I RV~2 Г и Н ^ — , а в промежутке у = а ^— ^ — » + - ^ — I RV~2 , R\/~2~\ . функция у = л \f / ? — х * уже удовлетворяет условиям теоремы, то дуга АВ спрямляема и её длина такова: У\ SAB= J = r R} 2 . RV~2 _ Отсюда С RV 2 Rdx RV2 Рис. 43. SAB=R [arcsin ^rj RV~2 2 а так как АВ есть в точности одна четверть всей окружности, то окружность спрямляема и её длина равна 2izR. 31. Площадь поверхности вращения. Рассмотрим, как и выше, кривую y=f(x), где f{x)— непрерывная функция, заданная в про­ межутке [а, Ь]. Для простоты эту функцию мы будем предполагать п о л о ж и т е л ь н о й . Как и выше, впишем в нашу кривую ломаную с вершинами M (x , f(x )) где х = а<^х < л г = Пусть наша кривая, а вместе с ней и упомянутая ломаная враща­ ются вокруг оси Ох. Тогда кривая опишет некоторую поверхность вращения (L), а ломаная — вписанную в неё поверхность (2/), со­ ставленную из п усечённых конусов (в частном случае вырождаю­ щихся в цилиндры). Если при стремлении к нулю наибольшей из хорд M M площадь *) V поверхности (//) стремится к конечk k k 9 0 г а k k+1 ) Мы считаем известным, что боковая поверхность усеченного конуса имеет площадь, равную его образующей, умноженной на периметр среднего сечения. &