* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 417 30. Длина дуги кривой. Рассмотрим кривую y=f(x), где f(x)— непрерывная функция, заданная на промежутке [а, Ь]. Раз­ делим [а, Ь] точками x = a<^x <^...<^x = b и образуем лома­ ную с вершинами М (х , f(x )){k = Q, 1 , . . . , л). Если существует конечный предел 5 длины этой ломаной, когда наибольшее из сё звеньев стремится к .нулю, то он называется длиной нашей кривой. Вообще говоря, не у всякой непрерывной кривой существует длина (можно доказать, что упомянутый предел существует в с е г ­ д а , но он может оказаться б е с к о н е ч н ы м ) . Те кривые, у ко­ торых длина существует, называются спрямляемыми. Т е о р е м а . Если у функции / (дг) существует непрерывная про­ изводная f(x), то кривая у=f (х) спрямляема, и её длина равна ъ s = §/T+f*(x)dx. (4) 0 l n к к h а Действительно, длина одного звена М М ломаной равна, очевидно, к ш упомянутой выше f(x )]\ k ММ к ш = V(x M — xf k + [/(х ) ш Но по формуле Лагранжа где x <^t <^x k k k+v —/(**) = / ' ( У (**м—*k\ Таким образом, длина о всей ломаной п—I такова: °= ^V^VjFW){x -x ). M k Так как это выражение есть интегральная сумма непрерывной функции то [при стремлении к нулю величины Х = т а х ( л г 1 — х ) ] оно стре­ мится к интегралу, стоящему в (4). Если обозначить через jx наи­ большее из звеньев М М , то, очевидно, будет л ^ р . Поэтому когда стремится к нулю jx, то X и подавно стремится к нулю, от­ куда и вытекает справедливость теоремы. П р и м е р . Рассмотрим окружность радиуса /?. Помещая её центр в начало координат, запишем её уравнение в виде * л+ к к ш x*+y* = R*. будет Тогда уравнение в е р х н е й п о л у о к р у ж н о с т и У= откуда следует, что у>= 27 Энциклопедия, кн. 3 V R*—x\ х