* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 413 шара выражается формулой ) 1 откуда следует и известная формула для объёма шара V=±*R\ Следующие примеры ещё ярче демонстрируют чрезвычайную силу общих методов .интегрального исчисления. П р и м е р 3. Пусть Т есть тело, отсекаемое от прямого круго­ вого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр его основа­ ния (рис. 36). Это тело называется «цилиндрическим отрезком». Положим (мы придерживаемся обознад чений рис. 36) A B = H O A = Ru вы­ разим объём V тела Г через R и /7. Для этого рассмотрим треугольник OJ^JZ?!, получающийся в сечении тела Т плоскостью, параллельной плоскости О А В и отстоящей от последней • на .расстояние 00 =х. T 1 Площадь упомянутого Х Х треуголь­ V { ника равна F(X) = Y О А • A B . Рис. 36. Из теоремы Пифагора следует, что — дг , а из подобия треугольников О А В и OjAji?! вы­ текает, что A B : A B = O A : O A , откуда И а 1 1 L L ) Эта формула получается также при помощи принципа Кавальери йз формул объёмов цилиндра и конуса. Именно, поместим полу шар радиуса R между плоскостями верхнего и нижнего оснований цилиндра радиуса R и .высоты R , из которого «высверлен» конус того же радиуса н той же высоты (рис. 37). Плоскость Н , изображенная на чертеже, пересекает полушар по 1 с -4 Г 2 с Рис. 37. s 7 кругу радиуса ~\TR* — X , цилиндр — по кругу радиуса R , а конус — по кругу радиуса х . Поэтому площади обоих заштрихованных сечений ^равны тс (Т? лг ). Значит, объём полушара равен разности TZR — 5 - TZR* = 7с/? . 9 — а 3 о — 3 3 Этот интересный вывод целесообразно сообщать и в средней школе.