* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

412 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ ции F(x). Из этого же обстоятельства формула ь V = § F(x)dx 9 немедленно иытекает и (2) позволяющая в ы ч и с л я т ь объём тела по площадям его поперечных сечений *). Рассмотрим несколько примеров. П р и м е р 1. Пусть тело Т есть конус (рис. 33). Выберем за ось Ох прямую, совпадающую с осью симметрии конуса, направив её от вершины конуса к его основанию и поместив начало О в вершине конуса. Сече­ ние Т(х) конуса — круг, радиус которого, очевидно, равен -^х, где R и Н соответ­ ственно суть радиус основания и высота конуса. Отсюда н П р и м е р 2. Столь же просто находится объём шара. Действительно, рассмотрим сна­ чала п о л у ш а р . Введём обозначения, указан­ ные на рис. 34. Радиус г круга Т (дг), заштри­ а хованного на рис. 34, равен | / /? — дг (рис. 35). Значит, объём полу2 Рис. 34. 1 Рис. 35. ) Так как ф о р м а сечения Т(х) оказалась несущественной, а объем выразился жиль через п л о щ а д ь этого сечения, то из (2) вытекает П р и н ц и п К а в а л ь е р и д л я о б ъ ё м о в . Если два тела I и II содер­ жатся между двумя параллельными плоскостями Р и Q и обладают тем свойством, что в сечении их любой плоскостью R, параллельной Р и Q, полу­ чаются фигуры* имеющие одинаковую площадь, то объёмы тел I и II равны* Ясно также, что в том случае» когда упомянутые площади находятся в некотором постоянном отношении (не зависящем от выбора плоскости R), то в том же отношении будут находиться и объёмы тел.