* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 399 Допустим, что и— число нечётное. Если я— 2 > 1, то мы можем снова написать формулу (25), изменив только п на п — 2, что даёт п—г п—2 Так можно продолжать до тех пор', пока мы не придам к равенству 2_ 3 Выражая U через {/„_ . затеи £/„_ через n э я U и т. д., получим: U _ *- 2-3-4- - -(п-1) 3"Т4-5- - -п „ » Вспоминая, что £/, = 1, и обозначая произведение веет натуральных чисел, не превосходящих т и имеющих с т одинаковую чётность, через т I1, находим, что ^ - ^ v r Аналогично для чётного п мы получим: _ ° п 1 - <> 26 ( я - 1)11 « nil 2* Я 1 ( ' Установив эти равенства, заметим, что при О ^ л с ^ - ^ - будет cos 2/1+2 х ^ cos*** х ^ COS*"*, откуда, интегрируя и опираясь на теорему 9 из п° 23, находим: С помощью равенств (26) и (27) последнему неравенству можно дать вид Отсюда Так как 2п+1 я Г (2и)И f 1 ^ « 2Hi2-Y L(2«-i)nJ * ^ + Т Т < < (2д + 1)1! я (2л) М (2я—1)П я (2л + 2)П 2 ( 2 л + 1 ) ! ! (2и)!I 2* < < , v 28 ( 2 8 ) Л то из (28) следует, что т в 2МЛ 2 11 = 1 ' 1 £ — lim Г С ") Г 2 ~„^opL(2«— l ) ! ! j ' 2 « + 1 ' Отсюда в свою очередь вытекает, что тс= Иш л If Г - « л L(2/i-l)!!J * Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа я через натуральные числа. Теоретически этот