* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

384 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Предположим, что нами рассматривается такой способ дробления, у которого 1 < 8 . Тогда, очевидно, м к — т к < ь ~ (6 = 0, 1, 2, ... , л—1), и потому п—I л—1 Отсюда и из (9) следует, что |о-/|< . е (10) Итак, для любого е ^ > 0 существует такое 8 > 0 , что при любом способе дробления, у которого X <^ 8, оказывается выполненным неравенство (10) (как бы ни выбирать точки Но это и означает, что 1 = Игл о, так что / и есть интеграл от функции f(x). Теорема доказана. Сопоставляя доказанную теорему с решением задачи III из п° 21, мы видим, что криволинейная трапеция, рассмотренная в упомяну­ той задаче, и м е е т площадь F, причём эта площадь выражается формулой •=J7w Читая эту формулу справа налево, находим Геометрическийсмысл определённого интегра­ Рис. 24. л а . Если f(x) непрерывна и положительна на [а, Ь], то интеграл §f{x)dx представляет собой плоицадь криволинейной трапеции, ограничен­ ной линиями у = 0, х = а~, x=b, y=f(x) (рис. 24). Не следует думать, что условие непрерывности функции н е о б ­ х о д и м о для того, чтобы у неё существовал определённый инте­ грал. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция / ( л ) , заданная на промежутке [а, Ь], равна нулю