* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 385 во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек Zf,z , ... , гц. Составим для /(лг) интегральную сумму о. Пусть из точек Е , \ . . . , Ё _ч, входящих в определение о, р точек совпадают с точками z^ а остальные отличны от них. Тогда в сумме с будет лишь р слагаемых, отличных от нуля. Если наиболь­ шее из чисел (i=l, 2, . . . , TV) есть К, то, очевидно, 2 0 ХУ я t \o\^Kpl^KNK * . откуда ясно, что при X ->"0 будет и о грал 0. Таким образом, инте­ f f(x) а - dx существует и равен нулю. Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть 9(дг) задана на промежутке [0, 1] так: если х — числошыррациональное, » *х— > fr рациональное. Если мы, составляя сумму о, за точки E выберем числа иррациональ­ ные, то окажется о = 0. Если же все E взять рациональными, то получится о = 1 . Таким образом, за счёт одного лишь уменьшения X нельзя приблизить о к какому-либо постоянному числу, и ин­ теграл fc 1 j о 9ix)dx не существует. В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определённый интеграл, но мы ограничимся вышеприведённой теоремой об интегрируемости непрерывных функций. 23. Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определённого интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем форму­ лировать их для функций непрерывных. - Т е о р е м а 1. Если f{x) и g(x) — две непрерывные функции, заданные на промежутке [а, Ь\, то ь ь ь J [/(*) + g W I d x = т. е. интеграл 25 ]jf(x)dx+§g(x)dx> интегралов слагаемых. суммы равен сумме Эицшслоиедия, к н . 3