* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЫ 369 можно dx. выносить за Т е о р е м а 4. Постоянный знак интеграла, т. е. ^af(x)dx множитель = a Проверим хотя бы формулу (* * ) . Согласно правилу, высказан­ ному выше, для этого надо продифференцировать правую часть этой формулы. Так как производная суммы равна сумме производных слагаемых, то надо дифференцировать по отдельности слагаемые правой части формулы ( * ) . Применяя теорему 2, легко убеждаемся, что искомая npoii3BOflHaV есть f(x)-\-g{x)— Л(лг), т. е. совпадает с подинтегральной функцией левой части. Аналогично доказывается и теорема 4. 18. Интегрирование с помощью подстановки. Чрезвычайно сильным методом приведения интеграла к табличной форме является метод подстановки или замены переменной. Он применяется в двух различных формах, каждая из которых основана на следующей теореме: Т е о р е м а . Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке \р д] первообразная функция для функции f(z). Если ер(х) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [а, Ь\ и удовлетворяющая неравенствам р^-ер(х)*^д, то сложная функ­ ция F [ер (х)] будет первообразной для функции f[ep(x)]ep'(x). В самом деле, дифференцируя сложную функцию у = F [ф (дг)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = ер (лг). Тогда # 9 у = F(z), z = ep(x) 1\у' =у' х , r г - z'x=F(z)ep'(x). Так как F(z) =f(z), то yx=f(z)cp (x)=f\cp(x)]ep (x), чем п доказана теорема. Доказанную теорему, очевидно, можно формулировать и так: если §nz)d2 то = F{z) + C, J7l? (*)] 9' (*) dx = F[