* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Г Л А В А II ИНТЕГРАЛЫ § 4. Неопределённые интегралы 17. Основные понятия. В дифференциальном исчислении основ­ ной операцией является нахождение производной заданной функции. Мы уже знаем, что существо дела здесь заключается в установле­ нии скорости изменения этой функции по сравнению с аргументом. Весьма часто, однако, приходится решать обратную задачу, когда по заданной скорости течения какого-либо процесса требуется вос­ становить сам этот процесс. В этом случае с математической точки зрения вопрос приводится к отысканию функции по её производной. Эта операция, называемая интегрированием, является основной во второй половине математического анализа—интегральном исчислении. Перейдём к точным определениям. О п р е д е л е н и е . Пусть функция /(лг), заданная в некотором промежутке ) [а, Ь], во всех его точках является производной функции F(x), также заданной в [а, Ь]. Тогда эта последняя функция F(x) называется первообразной функцией для функции /(лг) (в промежутке [а, 6]). Имеет место замечательная Т е о р е м а 1. У всякой непрерывной на промежутке [а Ь] функции имеется первообразная* Доказательство этой теоремы будет дано ниже в п° 24. Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x) то функция F(x)-\~C при любом постоянном С также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x)-\-C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F (дг) есть какая-то первообразная для /(лг), то производная разности F (x)—F(x) будет всюду на [а, Ь\ равняться нулю, а тогда, как было доказано в п° 14, сама разность есть величина постоянная, т. е. f 9 y t x F (x) i 1 — F(x) = C и F (x) i = F(x)-\-a ) Этот промежуток может быть замкнутым, открытым или полуоткры­ тым. В тексте мы употребили обозначение замкнутого промежутка лишь для определённости.