* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

356 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Т е о р е м а 3. Пусть на замкнутом промежутке [а, Ь] задана функция f(x), имеющая во всех точках [а, Ь] производную f(x). Для того чтобы f(x) была возрастающей {убывающей) функци­ ей, необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1) Всюду в открытом промежутке (а, Ь) оказывается /W^o L/'(*)^o]. 9 2) Не существует промежутка [р, q], содержащегося в [а,Ь] во всех точках которого было бы f(x) = 0. Пусть /(JC)— функция возрастающая. Тогда по предыдущей те­ ореме выполнено условие 1). Чтобы доказать необходимость уело вия 2), допустим, что оно нарушается. Тогда существует такой промежуток [р, q], содержащийся в [а, Ь], во всех точках кото­ рого /'(JC) = 0. Согласно теореме 1 функция / ( * ) • будет постоян­ ной на [р, q] и не будет возрастающей. Таким образом установ­ лена необходимость обоих условий 1) и 2). Допустим теперь, что выполнены условия 1) и 2). По предыду­ щей теореме функция / (JC) оказывается неубывающей. Убедимся, что она возрастает. Для этого возьмём точки х \\ у из [а, Ь], причём J C < j / . Для любого z из [JC, у] будет f(x)^f(z)^f(y). Если бы оказалось, что f(x)=f (y) то предыдущее неравен­ ство привело бы нас к тому, что наша функция постоянна на t промежутке [JC, у]. Но тогда её производная во всех точках этого промежутка обращалась бы в нуль, что противоречит условию 2). Стало быть, f{x)zfif(y) и f(x)<^f(y). Теорема доказана пол­ ностью. Если вспомнить, что производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, то доказанные результаты стано­ вятся геометрически почти очевидными. Действительно, график возрастающей функции при движении слева направо подымается (рис. 12, а), а график убывающей функции — опускается (рис. 12,