* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНЫЕ 355 необходимо и достаточно, чтобы во всех точках [а, Ь] существавала производная f (JC) и чтшбы она всюду на [a Ь] была равна нулю. Необходимость условий теоремы очевидна, ибо постоянная вели­ чина имеет производную и эта производная равна нулю. Чтобы до­ казать достаточность условий, предположим, что всюду на [а, Ъ] существует f(x) и /'(JC) = 0» Возьмём на [а, Ь] произвольную точку х и применим теорему Лагранжа к промежутку [а, х]: t f(x)-f(a)=f(x) t (х — а) (а<*<*). Так как f(x) = O "то f(x)=f(a), откуда и следует, что fix) » 'есть величина постоянная. * Напомним, что функция / ( J C ) называется неубывающей [невозрастающей], если из неравенства х<^у следует, что / ( * ) « & / ( у ) [f(x)^f(y)\. Если же из того, что х<^у следует / ( J C ) < / 0 > ) I / ( ) ^>/ (У)Ь говорят, что / (JC) — функция возрастающая [убывающая]. Функции невозрастающие и неубывающие называются монотонными. Если функция /(JC) возрастает, то — f ( x ) убывает, и наоборот. Это простое замечание позволит нам при доказательствах ниже­ следующих теорем ограничиться рассмотрением только возрастаю­ щих функций. Т е о р е м а 2. Пусть на замкнутом промежутке [а, Ь] задана функция /(JC), имеющая во всех точках [а, Ь] производную f (х). Для того чтобы функция / (JC) была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы всюду в открытом проме­ жутке (а, Ь) было х т о Допустим, что функция f{x) не убывает. Закрепим х 6 (а, Ь) и выберем столь малое Ах^>0, чтобы было х-\-Ах £[а, Ь]. Тогда /(-V-J- AJC)^/(X), стало быть, /(* + **)-/(*) ^ п Переходя в этом неравенстве к пределу при мы и полу­ чаем, что /'(JC)^SO. Допустим теперь, что при всех JC € (а, Ь) будет f(x) ^ 0. Возьмём на [а, Ь] точки х и у, где х<^у и применим теорему Лагранжа к промежутку [JC, у]: /ОО—/(*)=/'(*) Здесь x<^z<^y /О» так что /(JC) — функция неубывающая. 23* (у—х). и потому -г € (а, Ь). Значит, f ( г ) ^ 0 и