* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

354 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ которых заранее ограничена и которые всё же, в отличие от тейлорова многочлена Т(х), доставляют хорошее приближение функ­ ции f(x) в о в с ё м п р о м е ж у т к е [А, 'В]. Точно проблема Чебы­ шева формулируется так: на промежутке [А, В] задана непрерыв­ ная функция f(x); требуется выбрать из всех многочленов Р(х) степени не выше п тот, для которого величина max \/(х)-Р(х)\ (14) имеет наименьшее значение. Оказывается, что такой многочлен всегда существует и единственен. Он называется многочленом, наименее отклоняющимся от функции f(x). Само же наименьшее значение величины (14) называется наименьшим отклонением много­ членов степени не выше п от функции f(x) и обозначается обычно через Е ( / ) . Чебышев обстоятельно изучил свойства многочленов, наименее отклоняющихся от данных функций, и дал целый ряд практических приложений своей теории — в теории машин и меха­ низмов, в картографии и др. Замечательные исследования Чебышева послужили исходным пунктом для обширного ряда работ его уче­ ников — К. А. Поссе, А. Н. Коркина, Е. И. Золотарёва, А. А. Мар­ кова, В. А. Маркова и других. Существенное развитие идеи П. Л. Чебышева получили в исследо­ ваниях С. Н. Бернштейна. Исходная мысль здесь заключается в том, что с увеличением п величина наименьшего отклонения Е ( / ) умень­ шается, стремясь к нулю. Естественно, что быстрота убывания Е (/) связана со свойствами функции / (л:): чем проще строение этой функции, тем с большей точностью её можно заменить многочле­ ном. Эти общие соображения привели С. Н. Бернштейна к созда­ нию стройной классификации непрерывных функций на основании быстроты убывания их наименьших отклонений E (f). В настоящее время вся совокупность связанных с этими идеями вопросов разра­ ботана весьма обстоятельно и составляет предмет важной современ­ ной области анализа — конструктивной теории функций, имеющей большое прикладное значение. В развитии этой дисциплины веду­ щая роль принадлежит советским исследователям. Помимо С. И. Берн­ штейна, крупные заслуги в этой области имеют А. Н. Колмогоров, В. Л. Гончаров, М. Г. Крейн, Н. И. Ахиеэер, Е. Я. Ремез, С. М. Ловинский, С. М. Никольский и другие. л п п n § 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций 14. Признаки постоянства и монотонности функции. В настоя­ щем п° мы установим, как по свойствам производной какой-нибудь функции судить о свойствах самой этой функции. Т е о р е м а 1. Пусть на замкнутом промежутке [а, Ь] задана функция /(дг). Для того, чтобы эта функция была постоянной.