* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

346 f ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ производные fx(x у) и fy (х, у), причём эти производные сами суть непрерывные функции. Закрепим точку (дг, у) из квадрата Q и пусть (х + Длг, у + Ду) есть другая точка этого квадрата. Рассмотрим разность А* = / ( * + Ах, у + Ду) - / ( х , у). Эту разность можно переписать так: А* = [ f <* + Ах, у + Ду) - / ( х , у + Ду)] + [/(х, у + Ду) - / ( х , у)]. Разность / (JC, у + Ду)—/(Х, у), стоящая во вторых квадратных скобках, есть приращение функции /(JC, у), рассматриваемой как функция о д н о г о аргумента у (JC закреплено). Значит, мы можем применить к этой разности формулу Лагранжа / ( * . У + Ау) — f(x, y)=fy(x ч)Ду, t причём >) есть величина, содержащаяся между у и у + Ду. Аналогично / ( х + Дх, у + Ду) - / ( х , у + Ду) = / ; (£, у + Ду) Дх, причём i лежит между х и х + Д*Заметим теперь, что в силу предположенной непрерывности обеих ча­ стных производных fxufy каждая из разностей *=fx (S, У + А у ) - / л ( х , у), р = / у ( х , ч ) - / у ( х , у) стремится к нулю ори Дх и Ду, стремящихся к нулю *). Поэтому, положив аДх + рДу = р, мы получим: Lz = f x (х, у) Д х + / у (х, у) Ду + р, причём | A * | ' + U | ^ M + m - Ясно, что при Дх и Ду, стремящихся к нулю, окажется lim | , . ( . . , = 0. |Ах| + |Ду| Этим и оправданы все утверждения *), сделанные нами в п° 9. 12. Формула Тейлора. Общее определение функции гласит: «величина у является функцией аргумента х, если каждому значе­ нию х отвечает определённое значение у». В этом определении нет речи о том, при помощи каких средств можно н а й т и значение у, соответствующее заданному значению х . Во многих случаях функция задаётся той или иной вычислительной формулой, например фор­ мулой у = х\ ) Читатель обратит внимание на то, что при Дх—»0, Ду—»0 будет g _ х, у. *) Из доказательства видно, что хотя с у щ е с т в о в а н и е производ­ ных f'xufy приходится предполагать имеющим место во всех точках Q, но н е п р е р ы в н о с т ь их нужна только в исходной точке (х, у). 4