* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНЫЕ 347 В этих случаях сама формула и доставляет нам способ нахо­ дить у по х. Но часто дело обстоит не так. Например, задавая функцию равенством slnx мы не получаем в руки никакого вычислительного (или, как чаще говорят, а н а л и т и ч е с к о г о ) способа находить у. Возникает важная и общая задача создания аналитических средств, позволяю­ щих находить значения функции по заданным значениям аргумента. В широком классе случаев указанная задача решается при помощи замечательной формулы, называемой формулой Тейлора. Займёмся сначала установлением этой формулы для того слу­ чая, когда рассматриваемая функция является м н о г о ч л е н о м / ( х ) = с + с х + с д: 4- . . . + 0 1 3 9 (5) В основе вывода формулы для этого случая лежит то простое замечание, что при любом действительном числе а функцию f(x) можно записать в форме f{x) 0 = A. + A {x t п — a) + A {x — a)*+ % ... +А {х п — а) , п (6) где Л , Л ] , . . . , А не зависят от х. Иначе говоря, мы утверждаем, что многочлен (5) можно расположить по степеням разности х — а. Чтобы установить этот факт, достаточно доказать его для функ­ ции x ибо f(x) есть сумма таких функций, умноженных на по­ стоянные коэффициенты C . Для функции же х наше утверждение вытекает из того, что к k t к k х = [а + (х — а)] = к и 2 С* (х — а ) * . 0 4 Постараемся теперь фактически найти коэффициенты Л , A Л , входящие в формулу (6). Коэффициент Л находится сразу, если положить в этой формуле x = a что даёт v л 0 t А 0 =/(с). и Чтобы найти следующий коэффициент А частей равенства (6) производные, что даёт f{x) = A + 2A (x—а) 1 2 возьмём от обеих п + ЗА (х 3 — а ) * + . . . +пА (а). (х — а) ~К (7) п Полагая здесь х = а, получаем: А =f х Дифференцируя равенство (7), находим: / ( х ) = 2 Л + 3- 2Л (дг — а ) + я 3 , . . . +п(п— 1) А (х п — а) . м Полагая х = а получим: ш А . / " (а) %— 1. 2 *