* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

312 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРЧЛЫ И РЯДЫ функции /(л:). Ясно, что секущая, проведённая через начало коор­ динат и какую-либо точку N(x, у) графика, будет по мере при­ ближения N к началу совершать бесконечное множество колебаний между прямыми у = -\-х и у = — х и не будет стремиться ни к какому предельному положению. В обоих рассмотренных примерах мы обнаружили отсутствие производной в о т д е л ь н о й точке. Такие примеры были известны и в XVIII в. Однако в ту эпоху существовало (явно не сформули­ рованное) ошибочное убеждение, что непрерывная функция (это понятие, кстати сказать, тоже точно не определялось) имеет про­ изводную всюду, кроме разве лишь отдельных точек. Ещё в 1834 г. великий русский математик Н. И. Лобачевский отчётливо различал свойства непрерывности и дифференцируемосги функции. Тем не менее и в XIX в. были попытки доказать, что не­ прерывная функция, кроме как в отдельных точках, имеет произ­ водную. Этим попыткам положил конец К. Вейерштрасс, в 1871 г. построивший пример непрерывной функции, которая нигде не имеет производной. Но первый пример такого рода функции был построен гораздо раньше (не позднее 1830 г.) знаменитым чешским матема­ тиком Б. Больцано. Пример этот долгое время оставался неизвест­ ным и был опубликован лишь в 20-х годах текущего века. 4. Производные простейших элементарных функций. В настоя­ щем и ближайших двух пп° мы докажем, что все элементарные функции имеют производные во всех точках своих областей зада¬ ния, за исключением лишь отдельных особых точек, причём эти производные сами являются элементарными функциями точки дифференцирования. Целью настоящего п° является доказательство следующих формул ) .1 ( Q ' = 0, 7) (tg*)' 1) г COS JC ' A 2) 3) 4) (х)'=1, (х )' = а а п 8) (ctg*)' пх \ п 9) 10) 11) (<г7 (е*)' (In*)' 0 1 sin* л: : a* In а, J_ х (х )' = ах - \ 5) (sin л:)' = C O S J C , 6) (cos л:)' = — sin х, 9 I х\па * Буква х, фигурирующая в правых частях :их формул, обозна­ чает точку дифференцирования. В формуле 3) показатель л озна12)(log *)' ) На функциях sec л: и cosec* мы не останавливаемся, так как они вообще применяются редко. Обратные тригонометрические функции рассма­ триваются в п° 5, 1