* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВОДНЫЕ 311 Аналогично левосторонняя производная /1(лг) определяется фор­ мулой /1(л;)= Нш Д*<0 1 /С* + у - / ( * ) . Для того чтобы f(x) в точке х ) имела производную f (х), необ­ ходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке как правосто­ роннюю, так и левостороннюю производные и чтобы эти последние производные были равны между, собой. Так как у функции f(x) = \x\ будет / + ( 0 ) = -}-1,/1(0) = — 1 , то этим и объясняется отсутствие у нее обыкновенной производ­ ной f (0). Более интересен пример всюду непрерывной функции /(*)= х sin — 0 (л: ф 0), С*=0), у которой не существуют ни / + ( 0 ) , ни /1(0). В самом деле, если Дл:]>0, то /(0 + AJC)-/(Q) Дд: = 1 sin Дл- а эта величина не стремится ни к какому пределу при Длг->0, а колеблется между -f- 1 и — 1 бесконечное множество раз, принн- L л 1 л А л £ л JL л Рис. 7. мая как эти, так и все промежуточные значения. Указанное явле­ ние отчетливо видно на рис. 7, где изображена часть графика ) Здесь, как и выше, речь идет о функции, заданной в открытом про­ межутке (а, Ь\ содержащем точку х. Для функции /(JC), заданной в замкну­ том отрезке [а, Ь] также часто приходится рассматривать /_[_(д) и / 1 ( £ ) . Иногда для краткости не подчеркивают о д н о с т о р о н н е е т и этих произ­ водных и говорят просто об / ' (о) и / ' (Ь). 9 1